User:Rany Kabour/sandbox

תורת הקירוב המקומית של הצפיפות

תורת הקירוב המקומית של הצפיפות (באנגלית: LDA, Local Density Approximation) היא שיטה חישובית בפיזיקת מצב מוצק ומדעי החומר שפותחה על ידי המדענים Kohn  ו Sham בשנות ה-60 של המאה ה-20. שיטות תורת הקירוב המקומית הן קבוצה של קרובים פונקציונליים לאנרגית ההחלפה-קורולציה Exchange-Correlation (XC)) בתורה הכללית של פונקציונל הצפיפות ( Density Functional Theory, DFT). קירובים אלו תלויים אך ורק בצפיפות המטען, (rho(r)) , בכל נקודה במרחב. ישנן גישות שונות לסוג כזה של קירובים, אך הכי נפוצה הינה זו הנגזרת ממודל ג'יליום (Jellium) בו מניחים שצפיפות האלקטרונים אחידה בכל המערכת. קירובים אלו שמבוססים על מודל גיליום מאפשרים לחשב פונקציונליים כמו החלפה וקורלציה בצורה מדויקת שלא מצליחים לחשב בעזרת DFT.

תורת הקירוב המקומית של הצפיפות עובדת בצורה די מדויקת במגוון רחב של חומרים. בפרט עבור חישובים של משוואות מצב, קבועים אלסטיים ,מבנים אלקטרוניים ותכונות פיזיקליות נוספות של החומר. בצורתה הכללית, עבור מערכות עם ספין לא מקוטב ,אפשר לכתוב את אנרגיית החלפה קורולציה בעזרת תורת הקירוב המקומית של הצפיפות באופן הבא [1] :

$$(1) E^{LDA}_{XC}[\rho] = \int \rho(r)\epsilon_{XC}(\rho (r)) dr$$

כאשר $$\rho(r)$$ צפיפות המטען בנקודה r במרחב ו $$\epsilon_{XC}$$ אנרגיית החלפה-קורולציה שהיא פונקציה של צפיפות המטען.

ניתן להכליל קירוב זה (1)  בצורה ישירה על ידי הכללת גם ספין ואז הוא נקרא  ( Local Spin-Density Approximation  ) :

$$(2) E_{XC}^{LSDA}[\rho_\uparrow:\rho_\downarrow]= \int \rho(r)\epsilon_{XC}(\rho_\uparrow,\rho_\downarrow)dr$$

אם לוקחים בחשבון גם את גרדיינט הצפיפות מקבלים את הקירוב המקומי הנוסף שנקרא  ( Generalized  Gradient Approximations  )[2]:

$$(3) E_{XC}^{GGA}[\rho_\uparrow:\rho_\downarrow]= \int \rho(r)\epsilon_{XC}(\rho_\uparrow,\rho_\downarrow,\nabla\rho_\uparrow,\nabla\rho_\downarrow)dr$$

פונקציונלי החלפה-קורולציה
אנרגית החלפה-קורולציה ניתנת לכתיבה בצורה הבאה :

$$(4) E_{XC}^{LDA} = E_{X}^{LDA} + E_{C}^{LDA}$$

אנרגית ההחלפה $$E_{X}^{LDA}$$, עבור מודל גיליום יש משואות אנליטיות יחסית פשוטות שניתן לכתוב בצורה הבאה:

$$(5) E_{X}^{LDA}[\rho] = -\frac{3}{4}\left ( \frac{3}{\pi} \right) ^{\frac{1}{3}}\int \rho(r)^{\frac{4}{3}}dr$$

אך לאנרגית הקורולציה יש פתרון מדויק שמתקיים רק בגבולות של צפיפות גבוהה או נמוכה מאוד, בתנאים אלו אפשר לכתוב אנרגית הקורולציה בצורה הבאה:

בגבול של צפיפות גבוה:

$$(6) \epsilon_{C}=Aln(r_{s})+B+r_{s}(Cln(r_{s})+D)$$

בגבול של צפיפות נמוכה:

$$(7) \epsilon_C = \frac {1}{2}(\frac {g_0}{r_{s}} + \frac {g_0}{r_{s}^{\frac{3}{2}}} + \cdots)$$

כאשר $$r_{s}$$ (Winger-Seitz Parameter) הוא פרמטר חסר מימד שמוגדר כרדיוס של כדור שמקיף אלקטרון בודד מחולק ברדיוס של בוהר[3].

שימושים
תורת הקירוב המקומית של הצפיפות ובמיוחד הגרסה שמתייחסת לגרדיאנט הצפיפות (GGA) בשימוש רב בקרב פיזיקאיים בתחום של מצב מוצק בכדי לבחון אינטראקציות אלקטרוניות ומגניטיות בחומרים מוליכים למחצה כולל בין היתר תחמוצות מוליכות למחצה. בנוסף, משתמשים בתורה זו יחד עם תוכנות סימולציה בכדי לחזות את רמת פירמי (Fermi Level) ומבנה הרצועה (Band Structure) בתחמוצות מוליכות למחצה מסוימות[3].

רפרנסים
1.   Emerging Nanomaterials for Recovery of Toxic and Radioactive Metal Ions from Environmental Media

2.   תורת פונקציונל הצפיפות

3.   Local-density_approximation