User:Ricsimo/sandbox

Teorema degli assi principali

Un asse principale, nel contesto della geometria analitica e dell'algebra lineare, è un concetto fondamentale che si riferisce agli assi lungo i quali una forma quadratica assume una forma particolarmente semplice.

Definizione di asse principale

Gli assi principali sono assi di simmetria per una conica o una quadrica, ottenuti mediante la diagonalizzazione della matrice associata alla forma quadratica. In altre parole, se consideriamo una quadrica data dall'equazione generale:

$$ Q(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j + \sum_{i=1}^{n} b_i x_i + c = 0 $$

possiamo rappresentare questa forma mediante una matrice simmetrica $$A$$. Gli assi principali sono gli assi del sistema di coordinate ottenuto dopo aver diagonalizzato la matrice $$A$$.

Teorema

Il teorema degli assi principali è un risultato importante della geometria e ci dice che: siano $$Q:V\to R$$ una forma quadratica e $$A$$ la matrice che la rappresenta rispetto ad una determinata base. Esiste allora una base ortonormale B' formata da autovettori di A rispetto alla quale la quadrica si presenta in forma canonica $$Q(x'_{1}, x'_{2}, \ldots, x'_{n}) = \lambda_{1} {x'}_{1}^{2} + \lambda_{2} {x'}_{2}^{2} + \ldots + \lambda_{n} {x'}_{n}^{2}$$ dove $$(x'_{1}, x'_{2}, \ldots, x'_{n})$$ sono le coordinate della base $$B'$$ mentre $$\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$$ sono gli autovalori della matrice $$A$$ riportati con la loro relativa molteplicità algebrica.

Esempio Consideriamo in $$R^{2}$$:

$$ \begin{aligned} \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} &= 1 \\ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{25} &= 1 \end{aligned} $$

definiscono, rispettivamente, un'ellisse e un'iperbole. In ciascun caso, gli assi x e y sono gli assi principali. Questo è facilmente verificabile, dato che non ci sono termini incrociati che coinvolgono prodotti xy in nessuna delle due espressioni. Tuttavia, la situazione è più complicata per equazioni come:

$$ 5x^{2}+8xy+5y^{2}=1 $$

Qui è richiesto un metodo per determinare se si tratta di un'ellisse o di un'iperbole. L'osservazione di base è che se, completando il quadrato, l'espressione quadratica può essere ridotta a una somma di due quadrati, allora l'equazione definisce un'ellisse, mentre se si riduce a una differenza di due quadrati, l'equazione rappresenta un'iperbole:

$$ u(x,y)^{2} + v(x,y)^{2} = 1 \quad \text{(ellisse)} $$ $$ u(x,y)^{2} - v(x,y)^{2} = 1 \quad \text{(iperbole)} $$

Così, nell'espressione del nostro esempio, il problema è come assorbire il coefficiente del termine incrociato 8xy nelle funzioni u e v. Formalmente, questo problema è simile al problema della diagonalizzazione della matrice, dove si cerca di trovare un sistema di coordinate adeguato in cui la matrice di una trasformazione lineare è diagonale. Il primo passo è trovare una matrice in cui la tecnica della diagonalizzazione possa essere applicata.

Il trucco consiste nel scrivere la forma quadratica come

$$ 5x^2 + 8xy + 5y^2 = \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \mathbf{x}^{\textsf{T}} A \mathbf{x} $$

dove il termine incrociato è stato diviso in due parti uguali. La matrice $$A $$ nella decomposizione sopra è una matrice simmetrica. In particolare, secondo il teorema spettrale, ha autovalori reali e è diagonalizzabile da una matrice ortogonale (diagonalizzabile ortogonalmente).

Per diagonalizzare ortogonalmente $$ A $$, è necessario prima trovare i suoi autovalori e quindi trovare una base di autovettori ortonormale. Il calcolo rivela che gli autovalori di $$ A $$ sono

$$ \lambda_{1} = 1, \quad \lambda_{2} = 9 $$

con gli autovettori corrispondenti

$$ \mathbf{v}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_{2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}. $$

Dividendo questi per le rispettive lunghezze si ottiene una base di autovettori ortonormali:

$$ \mathbf{u}_{1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{u}_{2} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}. $$

Ora la matrice $$ S = [\mathbf{u}_{1} \, \mathbf{u}_{2}] $$ è una matrice ortogonale, poiché ha colonne ortonormali, e $$ A $$ è diagonalizzata da:

$$ A = SDS^{-1} = SDS^{\textsf{T}} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}.$$

Questo si applica al problema attuale di "diagonalizzare" la forma quadratica attraverso l'osservazione che

$$ 5x^{2} + 8xy + 5y^{2} = \mathbf{x}^{\textsf{T}}A\mathbf{x} = \mathbf{x}^{\textsf{T}}(SDS^{\textsf{T}})\mathbf{x} = (S^{\textsf{T}}\mathbf{x})^{\textsf{T}}D(S^{\textsf{T}}\mathbf{x}) = 1\left( \frac{x - y}{\sqrt{2}} \right)^{2} + 9\left( \frac{x + y}{\sqrt{2}} \right)^{2}. $$

Pertanto, l'equazione

$$5x^{2} + 8xy + 5y^{2} = 1 $$

è quella di un'ellisse, poiché il lato sinistro può essere scritto come la somma di due quadrati.

È allettante semplificare questa espressione estrarre fattori di 2. Tuttavia, è importante non farlo. Le quantità

$$c_{1} = \frac{x - y}{\sqrt{2}}, \quad c_{2} = \frac{x + y}{\sqrt{2}} $$

hanno un significato geometrico. Determinano un sistema di coordinate ortonormale su $$\mathbb{R}^{2}$$. In altre parole, sono ottenuti dalle coordinate originali tramite l'applicazione di una rotazione (e eventualmente una riflessione). Di conseguenza, si possono utilizzare le coordinate $$c_{1}$$ e $$c_{2} $$ per fare affermazioni sulla lunghezza e sugli angoli (in particolare sulla lunghezza), che altrimenti sarebbero più difficili in una scelta diversa di coordinate (per esempio, ridimensionandole). Ad esempio, la distanza massima dall'origine sull'ellisse $$ c_{1}^{2} + 9c_{2}^{2} = 1 $$ si verifica quando $$ c_{2} = 0 $$, quindi nei punti $$ c_{1} = \pm 1 $$. Allo stesso modo, la distanza minima è dove $$ c_{2} = \pm \frac{1}{3} $$.

È possibile ora leggere gli assi principali di questa ellisse. Questi corrispondono esattamente agli spazi vettoriali principali della matrice $$ A $$, poiché qui $$ c_{2} = 0 $$ o $$ c_{1} = 0 $$. Simbolicamente, gli assi principali sono

$$ E_{1} = \text{span} \left( \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \right), \quad E_{2} = \text{span} \left( \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \right). $$