User:Roham seif/sandbox

در آنالیز های عددی ،آنالیز پایداری فون نیومن (همچنین به عنوان آنالیز پایداری فوریه نیز شناخته می شود) یک فرآیند برای بررسی پایداری روش تفاضل محدود اعمال شده به معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی است. اساس آنالیز مذبور سری فوریه خطاهای عددی است و در آزمایشگاه ملی لس آلاموس پس از توضیح شفاف مقاله ی سال 1947 به وسیله ی محققان انگلیسی - کرنک و نیکلسون ایجاد شد. این روش یک نمونه از انتگرال صریح زمان است در حالی که تابع معادله حاکم آن در زمان مشخص محاسبه می شود .بعد ها ،این روش به شکلی دقیق تر از سوی جان فون نیومن در یک مقاله دوباره عرضه شد. =پایداری عددی= پایداری روش عددی مطلبی همراهی نزدیکی به خطای عددی دارد. یک روش تفاضل محدود زمانی پایدار است که خطاهای تولیدی در محاسبه یک گام زمانی باعث بزرگنمایی خطاها درادامه ی محاسبه نشود. یک روش پایدار ذاتی ،روشی است که خطاها در طول محاسبات ثابت بمانند. اگر خطا ها کاهش بیابند و در آخر از بین بروند ،روش عددی پایدار خوانده می شود .در غیر این صورت اگر خطاها با گذر زمان رشد کنند روش عددی را ناپایدار می خوانند. پایداری روش های عددی به وسیله ی آنالیز پایداری فون نیومن نیز می تواند مورد بررسی کرد. برای مسائل وابسته به زمان، پایداری ،بدست آمدن پاسخی کران دار به وسیله ی روش عددی را در حالتی که پاسخ دقیق معادلات دیفرانسیل کراندار باشد تضمین می کند. تحقیق پایداری ، در کل ،امری مشکل است ،خصوصا زمانی که معادله ی مفروض غیر خطی باشد. در موارد مشخص ،پایداری فون نیومن برای پایداری در مفهوم لکس ریچمایر (استفاده شده در تئوری تعادلی لکس) ضروری و مناسب است: معادله ی PDE و روش اختلاف محدود مدل هایی خطی هستند. معادله ی PDE مذکور،ضریب ثابت با شرطهای مرزی متناوب (پریودیک) است و تنها دو متغیر مستقل دارد ،و این روش برای بیشتر از 2 سطح زمانی استفاده نمی شوند. پایداری فون نیومن در موارد متنوع تری ضروری است. این روش به علت سادگی نسبی آن معمولا در مواردی که آنالیز دقیق تری برای آن که حدس خوبی در محدودیت های (اگر وجود داشته باشد) اندازهای گام بدست دهد استفاده می شود.

=توضیح روش= روش فون نیومن بر اساس گسسته سازی خطاها به سری فوریه بنا شده است. برای توضیح فرآیند ،معادله ی گرمای یک بعدی را فرض کنید. $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$ فاصله های درونی L به صورت زیر مشخص شده است : $$ \quad (1) \qquad u_j^{n + 1} = u_j^{n} + r \left(u_{j + 1}^n - 2 u_j^n + u_{j - 1}^n \right) $$	                                                 در حالی که $$r = \frac{\alpha\, \Delta t}{\Delta x^2}$$ و پاسخ  $$u_j^{n}$$  معادله ی گسسته شده حل تحلیلی $$u(x,t)$$  ، معادله ی حاکم PDE در مش را تخمین می زند. خطای گرد کردن  به صورت زیر تعریف می شود : $$ \epsilon_j^n = N_j^n - u_j^n $$ در حالی که $$u_j^n$$  پاسخ معادله ی گسسته شده ی (1) ممکن است در غیاب خطای گرد کردن محاسبه شده باشد و $$N_j^n$$  پاسخ عددی بدست آمده از دقت محدود است .از آن جایی که پاسخ   $$u_j^n$$  باید معادله ی گسسته را دقیقا ارضا کند ،خطای  $$\epsilon_j^n$$  نیز باید معادله ی گسسته را دقیقا ارضا کند .اینجا ما فرض کرده ایم که $$N_j^n$$  نیز معادله را ارضا می کند .(این تنها در دقت ماشین امکان پذیر است ) بنابراین : $$ \quad (2) \qquad \epsilon_j^{n + 1} = \epsilon_j^n + r \left(\epsilon_{j + 1}^n - 2 \epsilon_j^n + \epsilon_{j - 1}^n \right) $$                                                               یک رابطه ی برگشتی برای خطا است. معادله ی 1 و 2 نشان می دهند که هر دوی خطا و پاسخ عددی را در زمان یکسان ،رشد یا کاهش برابر دارند. برای معادلات دیفرانسیل خطی با شرط مرزهای متناوب ، تنوع فضایی خطا ممکن است در یک سری فوریه محدود گسترده شوند ،در L داخلی ، به صورتی که : $$ \quad (3) \qquad \epsilon(x) = \sum_{m=1}^{M} A_m e^{ik_m x} $$ هنگامیکه عدد موج $$k_m = \frac{\pi m}{L}$$ با $$m = 1,2,\ldots,M$$ و $$M = L/\Delta x$$. وابستگی خطا به زمان شامل فرض دامنه ی خطا $$A_m$$ ، یک تابع زمان است. از آن جایی که خطا کاهش یا رشدی توانی با زمان دارد ،فرض آن که دامنه نیز همراه زمان به صورت توانی تغییر می کند مناسب است .بنابراین : $$ \quad (4) \qquad \epsilon(x,t) = \sum_{m=1}^{M} e^{at} e^{ik_m x} $$ در حالی که $$a$$ یک ثابت است.

از آن جایی که معادله ی تفاضلی برای خطا خطی است (رفتار هر عبارت سری مشابه رفتار خود سری است) ،این کافی است تا رشد خطا نیز مانند عبارتی نوعی در نظر گرفته شود. $$ \quad (5) \qquad \epsilon_m(x,t) = e^{at} e^{ik_m x} $$ مشخصه های پایداری به این صورت تنها برای خطا هایی که در کل کم نمی شوند می تواند مورد مطالعه قرار گیرد. برای یافتن چگونگی تغییرات خطا در مراحل زمانی ،از معادلات (5) و (2) داریم: $$ \begin{align} \epsilon_j^n & = e^{at} e^{ik_m x} \\ \epsilon_j^{n+1} & = e^{a(t+\Delta t)} e^{ik_m x} \\ \epsilon_{j+1}^n & = e^{at} e^{ik_m (x+\Delta x)} \\ \epsilon_{j-1}^n & = e^{at} e^{ik_m (x-\Delta x)} \end{align} $$ حاصل (پس از ساده سازی): $$ \quad (6) \qquad e^{a\Delta t} = 1 + \frac{\alpha \Delta t}{\Delta x^2} \left(e^{ik_m \Delta x} + e^{-ik_m \Delta x} -  2\right) $$                                                     با استفاده از تطابق : $$ \qquad \cos(k_m \Delta x) = \frac{e^{ik_m \Delta x} + e^{-ik_m \Delta x}}{2} \qquad \text{و} \qquad \sin^2\frac{k_m \Delta x}{2} = \frac{1 - \cos(k_m \Delta x)}{2} $$                                                   معادله ی (6) می تواند به صورت زیر نوشته شود : $$ \quad (7) \qquad e^{a\Delta t} = 1 - \frac{4\alpha \Delta t}{\Delta x^2} \sin^2 (k_m \Delta x/2) $$                                                                       عبارت تشدید به صورت زیر تعریف می شود : $$ G \equiv \frac{\epsilon_j^{n+1}}{\epsilon_j^n} $$                                                                                                        وضعیت ضروری برای آن که خطا در مرز بماند  $$\vert G \vert \leq 1.$$  ،اگر چه : $$ \quad (8) \qquad G = \frac{e^{a(t+\Delta t)} e^{ik_m x}}{e^{at} e^{ik_m x}} = e^{a\Delta t} $$ بنابراین از معادله های (7) و (8) شرط پایداری به صورت زیر تعریف می شود : $$ \quad (9) \qquad \left\vert 1 - \frac{4\alpha \Delta t}{\Delta x^2} \sin^2 (k_m \Delta x/2) \right\vert \leq 1 $$                                                                            توجه داشته باشید عبارت $$\frac{4\alpha \Delta t}{\Delta x^2} \sin^2 (k_m \Delta x/2)$$  همواره مثبت است .بنابراین از معادله ی (9) داریم: $$ \quad (10) \qquad  \frac{4\alpha \Delta t}{\Delta x^2} \sin^2 (k_m \Delta x/2) \leq 2 $$                                                                              در محاسبه ی شرط بالا داریم : $$ \quad (11) \qquad \frac{\alpha \Delta t}{\Delta x^2} \leq \frac{1}{2} $$                                                                                                 معادله ی (11) پایداری مورد نیاز FTCS برای انتقال حرارت یک بعدی را به ما می دهد .که بیان می کند برای یک  $$\Delta x$$  داده شده ،مقدار  $$\Delta t$$  باید به اندازه ی کافی کم باشد تا معادله ی (10) برقرار شود.