User:Ronelm/sandbox10

כבר דיברנו על זרם בחומרים מוליכים.

את תגובת החומר (הזרם שנוצר כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי כלשהו) תארנו באמצעות חוק אוהם:

$$\vec J = \sigma \vec E$$בפרק זה ננסה להסביר מעט יותר טוב מאיפה חוק זה נובע, באמצעות מודל פשטני אך יעיל.

חומרים מוליכים
בחומרים מוליכים בעלי פילוג מטען ρ וחלקיקים הנעים במהירות $$\vec{v}(\vec{r})$$, ניתן לרשום ביטוי לצפיפות הזרם:$$\vec J=\rho(r) \cdot \vec v(r) = n \cdot q \cdot \vec v(r)$$כאשר $$n$$ היא צפיפות החלקיקים נושאי המטען ליח' נפח ו-$$q$$ מטענו של כל חלקיק.

כאשר יש יותר מסוג אחד של חלקיקים:$$\vec J=\rho(r) \cdot \vec v(r) = n_1 \cdot q_1 \cdot \vec v_1 + n_2 \cdot q_2 \cdot \vec v_2$$אם יש יותר מ-2 סוגים:$$\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k$$כאשר $$q_k$$ יכול להיות גם שלילי וגם חיובי (מה שיוביל לצפיפות זרם הפוכה בכיוונה).

מודל Drude
במודל דרודה, מסתכלים על מטענים אשר חופשיים לנוע בתגובה להפעלת שדה חשמלי חיצוני $$\vec E  $$. במצב זה, ניתן לכתוב את החוק השני בצורה הבאה:$$m\cdot\dot\vec v = q\vec E - \nu \vec v $$כאשר $$\nu  $$ הינו מקדם החיכוך האפקטיבי.

כשהמערכת מתייצבת, $$\dot\vec v = 0 $$ ואז ניתן לרשום:$$q\vec E = \nu \vec v \Rightarrow \vec v =  \frac{q}{\nu} \vec E = \vec v_d  $$כאשר $$\vec v_d  $$ מוגדרת להיות המהירות בשיווי משקל (drift velocity).

מקובל לסמן $$\mu = \frac{q}{\nu}$$ - מוביליות נושאי המטען.

אם נציב את הביטוי ל-$$\vec v_d $$ במשוואה המתארת את צפיפות הזרם, נקבל:$$\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k = \sum n_k \cdot q_k \cdot \frac{q_k}{\nu_k} \vec E = \underbrace{\sum n_k \cdot \frac{q_k^2}{\nu_k}}_{\equiv \sigma} \vec E = \sigma \vec E$$כלומר, קיבלנו מתוך מודל דרודה את חוק אוהם, כאשר $$\sigma$$ המוליכות הסגולית.

את משוואות השדה ותנאי השפה בחומר המקיים את חוק אוהב כבר ראינו בהרצאה הקודמת.

פולריזציה
לא תמיד יש אלקטרונים שחופשיים לנוע, לפעמים האלקטרונים "קשורים" אבל יכולה להיות סטייה במיקומם.

מיקום האלקטרון מתואר ע"י פונקציית גל קוונטית Ψ שמתארת לנו את ההסתברות למצוא את האלקטרון במיקום מסוים סביב העולם. כאשר מופעל שדה חיצוני, הוא "מעוות" את ענן האלקטרונים (פונקציית הגל). ולכן המיקום הממוצע של האלקטרונים הנתון על ידי הביטוי:$$\int \vec r \psi(r,t)\cdot \psi^*(r,t)dr$$בהפעלת השדה, המיקום הממוצע של האלקטרונים כבר לא יהיה במרכז וייווצר דיפול שקול בחומר.

יש חומרים (כמו מים) שלמולקולות שמרכיבות אותם יש מומנט דיפול באופן טבעי, ואז הפעלה של שדה חשמלי חיצוני "מיישרת" את כל הדיפולים בכיוון השדה.

מודל מקרוסקופי
המודל המיקרוסקופי אותו תארנו אינו קשור באופן ישיר למשוואות מקסוול. המטרה שלנו, כעת, היא למצוא פרמטרים מיקרוסקופיים ממוצעים, שאותם נוכל להציב במשוואות מקסוול ולפתור את השדות בנוכחות חומרים.

מבחינתנו, התגובה של חומר (או כל מערכת אחרת) להפעלה של שדה חשמלי עליה יכולה להיות מתוארת על ידי הווצרות של פילוג מטען בתגובה להפעלת השדה החיצוני.

מהרגע שהבנו מהו פילוג המטען ש"הושרה" בחומר בתגובה להפעלת השדה החיצוני, אפשר לחשב את השדה המלא כשדה שנוצר ע"י המקורות החיצוניים.

נניח שמומנט הדיפול של כל אטום או מולקולה הוא $$\vec P_{atom}$$ ולכן סה"כ הדיפול של כל התיבה: $$\vec P = N \cdot \vec P_{atom}$$. נוכל להגדיר את צפיפות הדיפולים הנפחית בתור היחס בין מומנט הדיפול לנפח:

$$\vec P = \frac{\vec p}{\delta v} = \frac{\vec p}{\delta \vec A \cdot \delta \vec l}$$

בהינתן $$\vec P$$, אפשר לרשום:

$$\vec p = \vec P \cdot \delta v = (\vec P \cdot \delta \vec A) \delta \vec l = \delta Q \cdot \delta \vec l$$את הפולריזציה ניתן לייצג כאילו על פאה יש מטען $$\partial Q = \vec p \cdot \partial \vec A$$ והם מופרדים זה מזה במרחק של $$\partial \vec l $$.

עבור איזושהי חתיכה של חומר:

$$Q_{p,surface} = \oint \vec P \cdot \vec {da}$$מאחר וסך הכל מטען הפולריזציה צריך להיות אפס:$$Q_{p,volume} = -\oint \vec P \cdot \vec {da}$$נביט בקשר הזה, עבור נפח קטן $$\Delta v$$:$$\rho_p = \frac{Q_{p,volume}}{\Delta v}= -\frac{1}{\Delta v} \oint \vec P \cdot \vec {da} \overset{\underset{\mathrm{\Delta v \rightarrow 0}}{}}{=} -\nabla\cdot\vec P$$$$\Rightarrow \rho_p = -\nabla\cdot\vec P$$נשים לב לכך שאם $$\vec P$$ אחיד, אז $$\rho_p = 0$$.

$$Q_{p} = -\oint \vec P \cdot \vec {da} \Rightarrow \eta_p = -\hat n (\vec P _2 - \vec P_1)$$זרמי פולריזציה
נסתכל על השינוי בזמן באלמנט מטען קטן $$\delta Q = \vec P \cdot \delta \vec A $$:$$I = \frac{d(\delta Q)}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec P \cdot \delta \vec A) =

\underbrace{\frac{d\vec P}{dt}}_{\equiv \vec J_p} \cdot \delta \vec A = \vec J_p \cdot \delta \vec A$$כאשר השינוי בזמן של $$\vec P$$ מוגדר על ידי זרם אפקטיבי שחולף בתיבה - זרם פולריזציה $$\vec J_p$$.

ביחד עם הקשר $$\rho_p = - \nabla \cdot \vec P $$ נקבל את חוק שימור מטען הפולריזציה:$$\nabla \cdot \vec J_p = - \frac{d\rho_p}{dt}$$נקבל: $$\eta_p = -\hat n (\vec P_2 - \vec P_1)$$ אם נגזור בזמן את הביטוי שקיבלנו עבור צפיפות המטען המשטחית, נקבל:$$\frac{d\eta_p}{dt} = =-\hat n (\frac{\partial \vec P_2}{\partial t} -\frac{\partial \vec P_1}{\partial t}) -\hat n (\vec J_{2,p}- \vec J_{1,p})$$כלומר, אין זרמי פולריזציה משטחיים! (אלא אם יש תנועה מכנית)

משוואות מקסוול בחומר
$$\begin{cases} \nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\ \nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot P)\\ \nabla \times H = \frac{\partial(\epsilon_0E)}{\partial t} + J_f + \frac{\partial P}{\partial t}\\ \nabla \cdot (\mu_0H) = 0 \end{cases}$$המקורות לשדה החשמלי הם כלל המטענים בבעיה - מטענים חופשיים ומטעני פולריזציה.

תנאי השפה המגיעים ממשוואות מקסוול בתנאים אלו:$$\begin{cases} \hat n \times (E_2-E_1) = 0\\ \hat n \cdot (\epsilon_0E_2-\epsilon_0E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [P_2-P_1])\\ \hat n \times (H_2-H_1) = K_f\\ \hat n \cdot (\mu_0H_2 - \mu_0H_1) = 0 \end{cases}$$נשים לב, כי ניסוח משוואות מקסוול אותן יש לפתור בסופו של דבר הצריך 3 צעדים עיקריים:


 * 1) מידול התגובה המקרוסקופית של החומר (ענן אלקטרונים שמוסט כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי חיצוני), וחישוב פילוג המקורות שנוצר בעקבותיה.
 * 2) הגדרת וקטור פולריזציה רציף בעזרת המודל המיקרוסקופי. אנחנו למעשה הגדרנו איזשהו תא יחידה, והנחנו שמיצוע פשוט של הדיפולים בתא היחידה הזה יתן את וקטור הפולריזציה. צעד זה נסמך למעשה על תאוריית הלאוזייס - מזוטי, על אף שהיא נפוצה, היא לא מדויקת ובמקרים רבים לא ניתן להשתמש בה כדי להסביר תופעות ניסיוניות.
 * 3) מתוך וקטור הפולריזציה חישוב התפלגות מטען הפולריזציה המקרוסקופיץ צעד זה אינו בעייתי ותמיד נכון, כל עוד אנחנו עובדים בתחום שבו ניתן להגדיר וקטור פולריזציה מקרוסקופי.

דוגמה
נתון לוח של חומר פעיל בו שוררת הפולריזציה הנתונה. חשבו את השדה החשמלי בכל המרחב.$$\rho _{p}=-\nabla \cdot {\vec {P}} = - \frac{\partial}{\partial z} P_z = - \frac{P_0}{d}$$על השפות:$$\eta_{p,z=0} = -\hat z \cdot (P_{z=0} - 0) = 0$$$$\eta_{p,z=d} = -\hat z \cdot (0 - P_{z=d}) = -\hat z \cdot (0 - P_0 \hat z) = P_0$$$$Q_p = \rho_p \cdot A \cdot d + \eta_{p, z=d} \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot d + P_0 \cdot A = 0$$הבעיה השקולה: מטעני פולריזציה בואקום!

מאחר וסך מטעני הפולריזציה ליחידת שטח הוא אפס ויש סימטריה של לוח אינסופי, נקבל $$\vec E = 0$$ מחוץ ללוח, כלומר ב-$$z <0,z>d$$. משיקולי סימטריה: $$\vec E = E(z) \hat z$$.

נשתמש בחוק גאוס האינטגרלי. נגדיר מעטפת (הפאה העליונה נמצאת בקואורדינטה $$z$$)$$\oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da} = Q_{in} \Rightarrow \epsilon_0 E(z) \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot z \Rightarrow E(z)=-\frac{P_0}{d\epsilon_0}\cdot z$$

משוואות מקסוול בחומר - וקטור ההעתקה
נוכל לרשום את משוואות מקסוול בנוכחות פולריזציה בעזרת וקטור ההעתקה $$\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P$$, צפיפות שטף חשמלי:$$\begin{cases} \nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot P) \Rightarrow \nabla \cdot \underbrace{(\epsilon_0 \vec E + \vec P)}_{\equiv \vec D \text{ - displacement vector}} = \rho_f\\ \nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon_0 \vec E)}{\partial t} + \vec J_f + \frac{\partial \vec P}{\partial t} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial}{\partial t}(\epsilon_0\vec E + \vec P) + \vec J_f\\ \hat n \cdot (\epsilon_0 E_2 - \epsilon_0 E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [P_2-P_1]) \Rightarrow \hat n \cdot ((\epsilon_0 \vec E_2 + \vec P_2) - (\epsilon_0 \vec E_1 + \vec P_1)) = \eta_f \end{cases}$$נוכל לרשום:$$\begin{cases} \nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\ \nabla \cdot (\epsilon_0 \vec D) = \rho _f\\ \nabla \times H = \frac{\partial D}{\partial t} + J_f\\ \nabla \cdot (\mu_0H) = 0 \end{cases}$$ותנאי השפה:$$\begin{cases} \hat n \times (E_2-E_1) = 0\\ \hat n \cdot (D_2-D_1) = \eta_f\\ \hat n \times (H_2-H_1) = K_f\\ \hat n \cdot (\mu_0H_2 - \mu_0H_1) = 0 \end{cases}$$המקורות לשדה ההעתקה $$\vec D$$ הם המטענים  החופשיים  בבעיה.

מנגנונים ליצירת פולריזציה:


 * Pyroelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה לשינוי בטמפרטורה)
 * Piezoelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה להפעלת מאמץ חיצוני)
 * Ferroelectric materials (קיים תהליך טבעי שיוצר פולריזציה בלי הפעלת השפעה חיצונית)
 * Bi-anisotropic materials

סוספטביליות ומקדם דיאלקטרי
אנחנו נתעניין בחומרים לינאריים בהם מתקיים:$$\vec {P}}=\epsilon _{0}\chi _{e}{\vec {E}$$כאשר מגדירים את הסוספטביליות $$\chi_e $$, המתארת בעיקר את התגובה של החומר כאשר השדות חלשים. נוכל כעת לכתוב את וקטור שדה ההעתקה $$\vec D$$:$$\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0 \vec E + \epsilon_0 \chi_e \vec E = \epsilon_0(1 + \chi_e) \vec E$$כאשר $$1 + \chi_e $$ הוא המקדם הדיאלקטרי היחסי המסומן ב-$$\epsilon_r $$, ו-$$\epsilon_0(1 + \chi_e) $$ הוא המקדם הדיאלקטרי המסומן ב-$$\epsilon $$.

תכונות של חומרים לינאריים

 * איזוטרופיות - החומר מגיב באופן זהה לכל הכיוונים של השדה שמופעלים עליו (או בתוכו). כלומר, $$\epsilon $$ ו-$$\chi_e $$ הם סקלרים. אם זה לא כך, $$\epsilon $$ ו-$$\chi_e $$ הן מטריצות. במצב זה נוכל לכתוב את שדה ההעתקה באופן הבא:$$\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0(\mathbb{I} + \chi_e) \vec E = \epsilon_0\epsilon_r \vec E$$לדוגמה, אם $$\chi_e $$ תהיה מטריצה $$3\times3$$, גם $$\epsilon $$ תהיה מטריצה מסדר זה.
 * הומוגניות - כאשר תכונות החומר, $$\epsilon $$, לא תלויות במיקום. כאשר התווך אינו הומוגני מתקיים $$\epsilon = \epsilon(\vec r) $$

ברגע שיודעים מהו $$\epsilon $$, אז אפשר להכניס אותו לתוך המשוואה ולפתור:$$\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \vec E) = \rho_f$$$$\nabla \times {\vec {H}} = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_{f} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial (\epsilon \vec E)}{\partial t} + J_f$$עם תנאי השפה:$$\hat n \cdot (\vec D_2 - \vec D_1) = \eta_f \Rightarrow \hat n \cdot (\epsilon_2 \vec E_2 - \epsilon_1 \vec E_1) = \eta_f$$

מטען נקודתי בתוך חומר דיאלקטרי
כאשר עסקנו במטען נקודתי בואקום, השדה אותו יוצר המטען למעשה מקיים:

$$\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}=\frac{\delta(r-r_0)}{\epsilon_0} \Rightarrow \nabla^2 \phi =-\frac{\delta(r-r_0)}{\epsilon_0}$$התוצאה היא כמובן הפוטנציאל:

$$\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 |r-r'|}$$

תווך אינסופי
$$\vec D = \frac{q}{4\pi r^2}\cdot \hat r$$$$\vec D = \epsilon \vec E \Rightarrow \vec E = \frac{\vec D}{\epsilon} \Rightarrow \vec E = \frac{q}{4\pi\epsilon r^2} \cdot \hat r$$

כדור סופי
מטעמי סימטריה מתקיים $$\vec E = E(r)\cdot\hat r, \vec D = D(r) \cdot \hat r$$. נקבל את תנאי השפה:$$\hat n \cdot (D_{out} - D_{in}) = \eta_f = 0$$מכאן נובע:$$\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Leftrightarrow \int \vec D \cdot \hat n ds = Q_{f, in}$$שדה ההעתקה:$$\vec D = \frac{q}{4\pi r^2}\cdot \hat r$$והשדה החשמלי:$$\begin{cases} \vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r \qquad r < a\\ \vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}\cdot \hat r \qquad r > a \end{cases}$$תנאי שפה עבור $$\vec E$$ בוואקום:$$\hat n \cdot (\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1) = \eta_{tot} = \eta_f + \eta_{pol}$$נמצא את הפולריזציה:$$\vec D = \epsilon \vec E = \epsilon_0 \vec E + \vec P \Rightarrow \vec P = (\epsilon - \epsilon_0)\vec E$$$$\vec P=\begin{cases} \vec \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r(\epsilon - \epsilon_0) \qquad r < a\\ 0 \qquad\qquad\qquad\qquad\ \ r > a \end{cases}$$כעת נוכל למצוא את צפיפות המטען המשטחית (על שפת הכדור) הנובעת ממטעני הפולריזציה:$$ \eta_p = -\hat r \cdot (\vec P_{out} - \vec P_{in}) = \frac{q}{4\pi\epsilon a^2} \cdot (\epsilon - \epsilon_0)$$$$ Q_p = q \frac{\epsilon - \epsilon_0}{\epsilon}$$סך מטעני הפולריזציה חייב להיות אפס. את המטען עצמו נוכל לקבל מחוק גאוס:$$\int \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds = Q_f + Q_{pol}$$$$\epsilon_0 \frac{q}{4\pi\epsilon r^2} 4\pi r^2 = q + Q_{pol}$$$$\frac{\epsilon_0}{\epsilon}q = q + Q_{pol} \Rightarrow Q_{pol} = \frac{-\epsilon + \epsilon_0}{\epsilon}q$$וזהו בדיוק $$-Q_{p,surface}$$ כך שסך מטען הפולריזציה הוא אכן אפס.

דוגמה
נתון כדור בעל מקדם דיאלקטרי $$\epsilon$$, מוקף בריק. הכדור מוכנס לשדה אחיד. מצאו את השדות בכל המרחב.

הבעיה סטטית ולכן ניתן לרשום את השדה החשמלי בתור גרדיאנט של פונקציה סקלרית:$$\nabla \times \vec E = 0 \Rightarrow \vec E = -\nabla \phi $$בהצבה במשוואות מקסוול נקבל:$$\nabla \cdot (\epsilon E) = 0 \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \cdot (-\nabla \phi)) = 0 $$מאחר ו-$$\epsilon $$ הומוגני נקבל:$$\epsilon \nabla ^2 \phi = 0 $$וזוהי משוואת לפלס.

תנאי השפה בבעיה:$$\begin{cases} \phi_{out}(r>>a) = -E_0z= -E_0r\cos\theta \\ \hat r \cdot (\epsilon_0 \vec E_{out} - \epsilon \vec E_{in})|_{\text{r=a}} = 0 \Rightarrow \hat r \cdot [-\epsilon_0 \frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} - (-\epsilon \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r})]_{\text{r=a}} = 0 \\ \phi_{out}(r=a) = \phi_{in}(r=a) \\ \phi_{in}(r\rightarrow0) < \ \infty \end{cases}$$נבחר פוטנציאל:$$\begin{cases} \phi_{out} = (Ar + \frac{B}{r^2})\cos\theta \\ \phi_{in} = Cr\cos\theta \end{cases}$$כאשר זרקנו את התלות ב-$$\frac{1}{r^2}$$ בפוטנציאל הפנימי כדי לקיים את תנאי השפה הרביעי.

מתנאי השפה השלישי והראשון בהתאמה נקבל:$$\begin{cases} Aa + \frac{B}{a^2} = Ca \\ \phi_{out}(r>>a) = Ar\cos\theta = -E_0r\cos\theta \Rightarrow A = -E_0 \end{cases}$$נציב בתנאי השפה השני את הנגזרות של הפוטנציאל:$$\frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} = (A - \frac{2B}{r^3})\cos\theta\qquad ,\qquad \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r} = C\cos\theta$$ונקבל:$$\epsilon_0(A - \frac{2B}{a^3}) = \epsilon C$$בסך הכל, המקדמים אשר נקבל עבור הפוטנציאל הם:$$\begin{cases} A = -E_0 \\ B = -a^3\cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} E_0 \\ C = a^3\cdot \frac{3}{\epsilon_r + 2} E_0 \end{cases}$$כאשר $$\epsilon_r = \frac{\epsilon}{\epsilon_0}$$. לכן, הפוטנציאל והשדה החשמלי מחוץ לכדור:$$\begin{cases} \phi_{out} = (-E_0r + E_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2}\frac{1}{r^2})\cos\theta \\ \vec E_{out} = E_0\hat z + \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \cdot E_0 \cdot \frac{a^3}{r^3} \cdot (2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta) \end{cases}$$כעת נוכל לחשב את הקיטוביות:$$\phi_{dipole} = \frac{p}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^2}\cos\theta

$$בבעיה שלנו, נמצא את הקיטוביות בעזרת השוואת מקדמים:$$\frac{p}{4\pi\epsilon_0}=E_0\cdot a^3 \cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \Rightarrow p=4\pi\epsilon_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0

$$הקיטוביות מוגדרת על ידי $$\vec p = \epsilon_0\alpha\vec E

$$, לכן נוכל לרשום:$$\alpha=4\pi a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2} = 3V\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}

$$כעת נסתכל על השדה והפוטנציאל בתוך הכדור:$$\begin{cases} \phi_{in} = -\frac{3E_0}{2+\epsilon_r}\cdot r\cos\theta \\ \vec E_{in} = \frac{3}{2+\epsilon_r}\hat z \end{cases}$$מתקיים $$\vec E _{in} = \vec E_{out} + \vec E_{respond}$$ ולכן שדה התגובה:$$\vec E _{respond} = -\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0\hat z $$

דוגמה 2
חשבו את הקיבול של קבל שכבות.

מטעמי סימטריה מתקיים $$\vec E = E(z)\cdot\hat z, \vec D = D(z) \cdot \hat z$$

בתוך הקבל $$\vec D $$ אחיד: $$\vec D = D_0\hat z $$. נסתכל על צפיפות המטען המשטחית על הלוח העליון:$$ \eta_f = \hat z \cdot (\vec D_{out} - \vec D_{in}) = -D_0$$ולכן המטען ובהתאם הקיבול:$$ Q = |D_0|\cdot A \Rightarrow C = \frac{Q}{V}=\frac{|D_0|\cdot A}{V}$$בשכבה ה-$$ i$$ מתקיים:$$ \vec D = \epsilon \vec E \Rightarrow D_0\hat z = \epsilon_i \vec E_i \Rightarrow \vec E_i = \frac{D_0}{\epsilon_i}\hat z $$המתח הכולל יתקבל על ידי סכימה על הפוטנציאלים שנצברים בכל שכבה:$$ V = \sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i \Rightarrow C = \frac{D_0\cdot A}{\sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i}=\frac{A}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_i}}=\frac{1}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_iA}} $$נשים לב לכך שהתוצאה שקיבלנו שקולה לחיבור קבלים בטור.

אם השתנות $$ \epsilon $$ רציפה $$ \epsilon=\epsilon(z) $$ נוכל לחלק לשכבות בעובי $$ dz $$ ונקבל:$$ \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{A}\int\frac{dz}{\epsilon(z)} $$במקור הגדרנו: $$\vec p = \alpha \vec E$$נגדיר מחדש: $$\vec p = \epsilon_0 \alpha \vec E$$כאשר: $$[\alpha]=m^3$$