User:Ronelm/sandbox11

ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות
ראשית, ועל מנת למנוע בלבול, נדבר על ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות:


 * פולריזביליות - מתארת את התגובה של חלקיק יחיד להפעלה של שדה חשמלי עליו, על ידי הקשר $$\vec p = \epsilon_0 \alpha \vec E$$, המתאר את מומנט הדיפול המושרה בחלקיק, ויוצר את שדה התגובה ולכן זהו גודל בדיד שמיוחס לחלקיק בודד.
 * פולריזציה - מתארת את הצפיפות הנפחית הממוצעת של הדיפולים בחומר, בתגובה לשדה חשמלי בתוכו.

כמובן ששני גדלים אלו לא מנותקים זה מזה.

כאשר תיארנו את המודל הפשטני שלנו לפולריזציה תארנו את התגובה של כל מולקולה להפעלת שדה חשמלי כ"הפלה" של ענן אלקטרונים שמשרה מומנט דיפול (למעשה תיארנו את המולקולה כחלקיק בעל פולריזביליות) ואז מיצענו את המומנט הכולל של מולקולות רבות על מנת לקבל את הפולריזציה.

עכשיו, מתיאור זה ניתן לקבל את התחושב שכאשר יש אוסף של מולקולות שיכולות להתקטב (יכול להיות מושרה בהן מומנט דיפול בתגובה להפעלת שדה), אז ניתן להגדיר פולריזציה, וניתן לתאר את תכונות החומר באופן דואלי ע"י ε.

באותו אופן, ניתן לדמיין מערך של מולקולות מלאכותיות, חלקיקים בעלי קיטוביות כלשהי α.

באופן דומה, אם נסדר אותן באיזושהו אופן במרחב נוכל לתאר את הקשר בין השדה המופעל עליהם למומנט הדיפול המתעורר בהם, ולאחר מכן את הקשר לצפיפות הממוצעת של הדיפולים - הפולריזציה - נוכל לתכנן "חומרים מלאכותיים" על ידי תכנון החלקיקים והמערך בו הם מונחים.

בהרצאה זו ננסה להניח את הבסיס לתיאור זה.

לסיכום:

הפולריזביליות כמטריצה
$$ \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E = \epsilon_0\begin{pmatrix} \alpha_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & \alpha_{zz} \end{pmatrix}\vec E $$כאשר במצב של חוסר איזוטרופיות מתקיים אי שוויון של אחד המקדמים לדוגמה $$\alpha_{xx} \neq \alpha_{yy}$$.

שדה של דיפול
מאחר ובכל חלקיק מושרה מומנט דיפול בתגובה לשדה חיצוני, השדה שהוא ייצור יהיה כמו שדה דיפולי:$$ \phi_{dip} = \frac{\vec p \cdot \hat i_{r',r}}{4\pi\epsilon_0|\vec r - \vec r'|^2} \Rightarrow \vec E = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{1}{|\vec r - \vec r'|^3}(\vec p - 3(\vec p\cdot\hat i_{r',r})\hat i_{r',r}) $$כאשר הווקטור $$ \hat i_{r',r}  $$ מוגדר באופן הבא:$$ \hat i_{r', r} = \frac{(x-x')\hat x + (y-y')\hat y + (z-z')\hat z}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}} = \begin{pmatrix} \frac{x-x'}{|r-r'|} \\ \frac{y-y'}{|r-r'|} \\ \frac{z-z'}{|r-r'|} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix}  $$ניתן לרשום:$$ \underline\underline I \cdot \vec p -3\underbrace{(n_xp_x+n_yp_y+n_zp_z)\begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)}\cdot\vec p}   $$כעת, נוכל לרשום  ביטוי מקוצר לביטוי של שדה הדיפול:$$ \vec E_{dip}(\vec r,\vec p,\vec r') = \underline\underline A(\vec r, \vec r') \cdot \vec p    $$כאשר הגדרנו את המטריצות:$$ \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I), \quad \underline\underline N^{(s)} = {\begin{pmatrix} n_x^2 & n_xn_y & n_xn_z \\ n_yn_x & n_y^2 & n_yn_z \\ n_zn_x & n_zn_y & n_z^2 \end{pmatrix}}    $$

מערכי חלקיקים ושדה לוקלי
עבור חלקיק בודד נוכל לרשום את הפולריזביליות $$ \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E = \epsilon_0\alpha\vec{E^L}    $$ כאשר $$ \vec{E^L}     $$ הוא שדה לוקלי - השדה במיקומו של החלקיק בהיעדר החלקיק עצמו.

נחשב בכל נקודה את השדה הלוקלי $$ \vec{E^L}(\vec r_i)    $$ ונוכל לרשום $$ \vec p_i = \epsilon_0\alpha_i\vec{E^L}(\vec r_i)     $$.

את השדה הלוקלי נמצא באמצעות:$$ \vec{E^L}(\vec r_i) = \vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j   $$כאשר $$ \vec r_i    $$ הם מיקומי הנקודות בהם נחשב את השדה, ו-$$ \vec r_j $$ מיקומי הדיפולים השונים.

כעת נוכל לרשום ביטוי לפולריזביליות עבור כל חלקיק:$$ \vec p_i = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0\vec{E^L}(\vec r_i) = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0[\vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j]   $$מכאן למעשה ניתן לכתוב מערכת משוואות ממנה ניתן לחלץ את מומנטי הדיפול (הם הנעלמים כאן):

$$\vec p_i - \alpha_i \sum_{j\neq i}^N A(\vec r_i, \vec r_j) \vec p_j = \alpha_i \vec E_0$$כל מערכת משוואות $$3N \times 3N$$ (לכל מומנט דיפול יש 3 רכיבים: x,y,z).

מתי המשוואה הזאת תקפה?

כאשר ניתן להניח שהשדה הממוצע על החלקיק הוא בקירוב השדה בנקודה בה נמצא החלקיק, והשדה בקירוב אחיד.

בדרך כלל ניתן להשתמש כאשר:

$$r > 3 \cdot \underbrace{d}_{\text{biggest dimension in each particle}}$$

דוגמה - מערך אינסופי (עירור אורכי)
מאחר והבעיה סימטרית להזזה של $$ d   $$, מומנט הדיפול שמתעורר בכל החלקיקים זהה! כלומר:$$ \vec p_n = p_0\hat x $$החלקיקים יושבים בנקודות $$ x_n = nd   $$. נסתכל על חלקיק בראשית:$$ \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x + \sum_{n\neq0}\frac{1}{4\pi\epsilon_0|nd|^3}\underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)} - \underline\underline I}\cdot\begin{pmatrix} p_0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=E_0\hat x +\sum_{n\neq0}\frac{1\cdot2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3|n|^3}\hat x   $$לכן, השדה הלוקלי של חלקיק בראשית:$$ \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\sum_{n\neq0}\frac{1}{|n|^3}\hat x = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\cdot2\underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{|n|^3}}_{\text{Apery's Const-1.202}}\hat x    $$ניתן להביע את הקבוע הדרוש גם על ידי הגדרה של פונקציית זטא של רימן:$$ \zeta_{(s)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} \quad, \quad \real(s) > 1 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} = \zeta_{(3)}    $$כעת נוכל למצוא את הפולריזביליות בראשית:$$ p_0 = \epsilon_0\alpha(E_0+\frac{p_0}{\pi\epsilon_0d^3}\zeta_{(3)}) \Rightarrow p_0 = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}} > \epsilon_0\alpha E_0   $$קיבלנו שמומנט הדיפול המתעורר חזק יותר מאשר מומנט הדיפול אשר היה מתעורר באותו חלקיק אם הוא היה מונח לבד במרחב. מדוע? מאחר וכל הדיפולים זהים, השדה שיוצרים החלקיקים האחרים במערך על החלקיק בראשית מחזק את השדה המעורר, ולכן סה"כ מתקבל ש-$$ E^L $$ חזק יותר מ-$$ E_0 $$. מה שיוצר דיפול חזק יותר מאשר חלקיק יחיד במרחב חופשי שהיה חשוף לאותו שדה חיצוני. בנוסף, נשים לב לכך שהגדרה מעט שונה של תא היחידה מביאה למומנט דיפול הפוך מזה שחישבנו.

דוגמה - מערך אינסופי (עירור ניצב)
בכל חלקיק מתעורר דיפול:$$ p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}}  $$קיבלנו הפעם עירור חלש יותר מאשר אם אותו חלקיק היה מונח לבד במרחב.

דוגמה - מערך אינסופי (עירור כללי)
אם נניח כעת שדה מעורר כללי בזווית $$ \theta  $$ ביחס לציר ה-$$ x   $$:$$ \vec E^{ext} = E_0(\cos\theta\hat x +\sin\theta\hat y)   $$נקבל:$$ \vec p = \epsilon_0\alpha E_0 [\frac{\cos\theta}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat x+ \frac{\sin\theta}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat y]   $$הדיפול ייווצר בזווית $$ \varphi   $$ ביחס לציר ה-$$ x   $$ המקיימת:$$ \tan\varphi = \tan\theta\cdot\frac{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}}   $$למרות שהחלקיקים איזוטרופיים, התגובה אינה איזוטרופית בגלל תכונות המערך.

מערכים תלת-מימדיים
במערך תלת מימדי נצטרך שלושה אינדקסים כדי לתאר את המיקום של כל חלקיק:$$ \vec r_{m,n,k} = ma\hat x +nb\hat y + kc\hat z \quad, \quad -\infty < m,n,k, < \infty  $$מה הדיפול שמתעורר בכל חלקיק עבור עירור של שדה חיצוני $$ \vec E = E_0 \hat y    $$?

נרשום את המשוואות עבור החלקיק בראשית:$$ \vec p = p_0\hat y = \alpha\epsilon_0\vec{E^L} = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k}) \cdot \underbrace{\vec p_{m,n,k}}_{p_0 \hat y}] $$$$ p_0\hat y = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix}]   $$$$ \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r_{m,n,k}|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I) \quad, \quad \hat i_{r',r} = \frac{0-(ma\hat x +nb\hat y +kc\hat z)}{\sqrt{(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2}}=(n_x,n_y,n_z)    $$נחשב את המכפלה $$ \underline\underline A \cdot \vec p    $$:$$ \underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{2(nb)^2-(ma)^2-(kc)^2}{[(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2]^{\frac{5}{2}}}\hat y    $$ניתן להציג סכומים מסוג זה באופן הבא:$$ \sum\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \hat y \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}S(u,v)|_{u=\frac{a}{b}, v=\frac{c}{b}}    $$כאשר הגדרנו:$$ S(u,v) = \sum_{m,n,k\neq{(0,0,0)}}\frac{2n^2-(mu)^2-(kv)^2}{[(mu)^2+n^2+(kv)^2]^{\frac{5}{2}}}    $$נציב את הביטוי הזה ונציב במשוואה עבור הדיפול:$$ p\hat y - \alpha\epsilon_0\hat y(\frac{p}{4\pi\epsilon_0b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})) = \epsilon_0\alpha E_0\hat y    $$נעביר אגפים ונקבל:$$ p = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}    $$נפרק לרכיבים:$$ \begin{cases} p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,y}}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}\\ p_x = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,x}}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}\cdot S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\ p_z = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,z}}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}\cdot S(\frac{a}{c},\frac{b}{c})} \end{cases} \Rightarrow \vec p = \underline\underline C \cdot \vec E^{ext}   $$כאשר הגדרנו את המטריצה $$ \underline\underline C    $$:$$ \underline\underline C =\begin{pmatrix} C_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & C_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & C_{zz} \end{pmatrix} \quad, \quad \begin{cases} C_{xx} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\ C_{yy} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\ C_{zz} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})} \end{cases}    $$כיצד נעריך את $$ S(u,v)     $$? בעזרת סכום פואסון:$$ S(u,v) = \frac{1.202}{\pi}-8\pi\cdot[K_0(2\pi u) + K_0(2\pi v)] \quad, \quad u,v\approx 1    $$כאשר $$ K_0     $$ היא ה-Modiified Bessel function, 2nd kind.

חומרים מלאכותיים
נכתוב את וקטור הפולריזציה עבור חומרים מלאכותיים,שהוא היחס בין הפולריזציה לשדה הממוצע (מיצוע מרחבי בתוך החומר):$$ \vec P = \epsilon_0\underline\underline\chi\langle\vec E\rangle     $$המהירות הממוצעת:$$ \langle\vec u \rangle = \frac{1}{V}\iiint\vec u dxdydz      $$כאשר $$ V      $$ נפח תא היחידה בו ממצעים.

פורנולציה זו תקפה עבור חומר טבעי, וגם עבור מערכי החלקיקים שתארנו.

ניתן להשתמש בקשר זה כדי לקבל $$\chi_e$$ אפקטיבי, ואת $$\varepsilon_r$$ האפקטיבי, של החומר העשוי חלקיקים קטנים.

אם נסתכל על תא יחידה של המערך התלת - מימדי שקיבלנו, את השדה הממוצע בתוכו נוכל לרשום כך:$$ \langle\vec E \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle\sum_{m,n,k}\vec E_d \rangle     $$כיוון שהמבנה מחזורי, נתמקד בתא היחידה סביב הראשית. עבור תא יחידה סביב הראשית:$$ \langle\vec E_{origin} \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle E_{d,origin} \rangle     $$השדה $$ \vec E_0      $$ משתנה במרחב מאוד לאט ולכן:$$ \langle\vec E_0 \rangle = \vec E_0      $$לאחר חישוב ארוך ובהנחה של $$ a=b=c      $$ ניתן להגיע לכך שמתקיים:$$ \langle\vec E_{origin} \rangle = -\frac{\vec p}{3\epsilon_0V}=-\frac{\vec P}{3\epsilon_0}      $$כאשר $$ \vec P      $$ היא הפולריזציה בחומר. לכן, השדה החשמלי הממוצע הוא:$$ \langle\vec E \rangle = \vec E_0 - \frac{\vec P}{3\epsilon_0} = \vec E_0 - \frac{\vec p}{3\epsilon_0 V}= \vec E_0 - \frac{1}{3\epsilon_0V}\cdot\underline\underline C\cdot\vec E_0     $$$$ \langle\vec E \rangle = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)\vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)^{-1}\langle\vec E\rangle      $$מכאן, ניזכר בביטוי המקשר בין הפולריזציה לשדה החשמלי:$$ \vec p = \underline\underline C \cdot \vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = \underline\underline C^{-1} \cdot\vec p      $$נציב במשוואה שמצאנו ל-$$ \vec E_0      $$ ונקבל:$$ \underline\underline C^{-1}\cdot\vec p=({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle      $$נחלק בנפח תא היחידה:$$ \underline\underline C^{-1}\cdot\vec P=\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle      $$ונקבל ביטוי לפולריזציה הכוללת:$$ \vec P = \underbrace{\underline\underline C\cdot\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}}_{\epsilon_0\underline\underline\chi \ ,\ \underline\underline\epsilon = \epsilon_0(\underline\underline I + \underline\underline\chi)}\langle {\vec {E}}\rangle      $$