User:Ronelm/sandbox12

כפי שראינו בפרק על פולריזציה, חומרים יכולים להגיב לנוכחותו של שדה חשמלי לידם / בתוכם. תגובה זו מתרחשת (אם כי בעקבות מנגנונים פיזיקליים שונים) גם כאשר חומר נחשף לשדה מגנטי.

כאשר שוחחנו על חומרים חשמליים, תארנו באופן קלאסי את תגובתם על ידי "הסטת" ענן אלקטרונים ביחס לגרעין, מה שגורם להיווצרות מומנט דיפול באטום / מולקולה.

כעת, ננסה להבין את התופעות המתרחשות בתוך החומר המאפשרות או יוצרות את התגובה של החומר לשדה מגנטי.

ראשית, ניזכר בתיאור שקיבלנו עבור דיפול מגנטי. בהרצאה על מגנטוסטטיקה ראינו שלולאת זרם קטנה יוצאת שדה מגנטי שמשתנה בשדה של דיפול, כאשר מומנט הדיפול היה $$m=I\cdot A$$.

את האטומים של החומר, ניתן לתאר באמצות לולאות זרם קטנות של דיפולים מגנטיים.

מנגנוני מגנטיזציה
את הזרם, או את הדיפול באופן שקול, נהוג לייחס ל - 2 מנגנונים עיקריים: מכאן, הפעלת שדה מגנטי חיצוני יכולה להשפיע על החומר (או על הדיפולים בחומר) ב - 2 דרכים שונות:
 * Spin Magnetization - דיפול מגנטי שקיים באופן טבעי בחלקיקים המרכיבים את האטום - אלקטרונים, פרוטונים וניורוטונים. במצב טבעי, דיפולים אלו במצאים באורינטציה אקראית בחומר והדיפול הממוצע הוא אפס.
 * Orbital Magnetization - דיפול מגנטי הנובע מהתנועה המעגלית שמבצעים האלקטרונים סביב הגרעיון - מתנהגים כטבעת זרם קטנה.


 * 1) לסובב וליישר את הדיפולים ה"טבעיים" הקיימים, כך שיווצר עבורה כיוון מועדף, ואז הדיפול הממוצע לא יהיה אפס.
 * 2) לשנות את גודלו של הזרם בלולאות כך שעוצמת הדיפול תשתנה. דבר זה קורה בעקבות כא"מ מושרה בלולאות.

דיאמגנטים - Orbital Magnetization
נסתכל על טבעת זרם.

נניח כי הזרם נוצר כתוצאה של תנועה של חלקיקים בעלי מסה q ומטען m.

כעת, נניח שנדליק אט - אט שדה מגנטי הניצג ללולאה מחוק פארדיי:

$$\int_{loop} \vec E \cdot dl = -\frac{d}{dt} \iiint (\mu_0 \vec H) \hat n dS$$$$\Rightarrow E\cdot 2\pi r = -\frac{dB}{dt} \cdot \pi r^2 \Rightarrow E = -\frac{r}{2} \mu_0 \frac{d\vec H}{dt} $$כלומר, בעקבות שינוי השטף נוצר שדה חשמלי היקפי המפעיל כוח על המטענים הזורמים בטבעת.

סימן המינוס מרמז על כך שהכוח יפעל על הזרם כדי "לזרז" את השינוי בשטף (עיקרון לנץ).

בסך הכל, אם נבצע "רעיונית" אינטגרציה בזמן, נגלה שבכל תהליך ההפעלה של $$\vec B$$ פעל כוח על המטענים בטבעת והקטין את הזרם, ולכן הקטין את מומנט הדיפול.

או, בשפה מעט יותר מתאימה, הפעלת השדה המגנטי $$\vec H$$, הוסיפה לחומר דיפול המנוגד לכיוונו של $$\vec H$$.

חומרים המגיבים בעזרת מנגנון זה נקראים דיאמגנטיים.

דוגמאות - כספית, כסף, ביסמוט, נחושת, מים.

פאראמגנטים, פרומגנטים - Spin Magnetization
כאשר החומר מורכב מדיפולים של spin, הפעלה של שדה חיצוני "תסדר" את הדיפולים בכיוון השדה, ולכן תוסיף לחומר דיפול ממוצע בכיוון השדה.

חומרים אלו נראים פאראמגנטיים.

יש חומרים מסוימים שעבורם יש בחומר דיפולים ומבנה המאפשרית תגובה מאוד חזקה באופן הזה אלו נקראים פרומגנטיים (ברזל, קובלט), ותגובתם לשדה מגנטי חזקה מאוד.

חשוב לציין: כדי לנתח באופן כמותי תופעות מגנטיות בחומר, יש להשתמש בכלים ממכניקת הקוונטים - אלו אינן תופעות בעולם הקלאסי.

עם זאת, ולמרות היותו שגוי, ההסבר הקלאסי יכול להיות אינטואיטיבי, ואפילו לפרקים לתת תוצאות כמותיות נכונות.

וקטור מגנטיזציה - $$ \vec M    $$
כעת, כאשר התרשמנו וקיבלנו קצת אינטואיציה על המנגנונים היוצרים את המגניטציה, נרצה לקבל תאור כמותי. גם כאן נגדיר לנו את $$\vec M$$ - וקטור המגנטיזציה המייצג את הצפיפות המגנטית בחומר. נסתכל על אלמנט מגנטיזציה קטן:$$ d\vec m = \sum\vec m = \vec M\cdot dv \Leftrightarrow \frac{d\vec m}{dv} = \vec M      $$ישנם שני מודלים לתיאור המקורות השקולים המייצגים את המגנטיזציה:


 * 1) מודל הזרם האמפרי
 * 2) מודל המטען המגנטי

1.מודל הזרם האמפרי
כאשר באזור מסוים משתנה המגנטיזציה, תהיה צפיפות זרם שקולה המייצגת שינוי זה.

נרצה לשכנע שמתקיים: $$ \vec J_a = \nabla \times \vec M     $$. נתחיל מלהסתכל שוב על אלמנט מגנטיזציה קטן:$$ d\vec m = \vec M (d\vec l \cdot d\vec a) = (\vec M\cdot d\vec l)d\vec a      $$מתקיים $$ I = \vec M\cdot d\vec l        $$ ולכן:$$ d\vec m = Id\vec a       $$קיבלנו את התוצאה שקיבלנו דרך מגנטוסטטיקה עבור מומנט הדיפול של לולאת זרם בשטח $$ d\vec a       $$.

מה סך הזרם שעובר דרך הלולאה שהגדרנו?$$ I = \oint\vec M\cdot d\vec l      $$מצד אחד, ישנו הקשר בין הזרם לצפיפות הזרם:$$ I = \iint\vec J_a\cdot d\vec a        $$מצד שני, לפי משפט סטוקס נוכל לומר:$$ \oint\vec M\cdot d\vec l = \iint\vec\nabla\times\vec M\cdot d\vec a       $$מאחר שאין תלות בלולאה בה נבחר, נקבל את השוויון:$$ \vec J_a = \nabla \times \vec M      $$והוכחנו.

זרמי מגנטיזציה משטחיים
נמצא תנאי שפה במעבר בין תווכים בהם $$ \vec H      $$ שונה:$$ \text{(1) } \nabla\times H = J +\frac{\partial D}{\partial t} \Rightarrow \hat n\times(\vec H_2 - \vec H_1)=\vec k      $$ובין תווכים בהם $$ \vec M       $$ שונה:$$ \text{(2) } \nabla\times M = J_a \Rightarrow \hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)=\vec k_a       $$

משוואות מקסוול בחומר
נוכל לרשום את משוואות מקסוול בנוכחות מגנטיזציה:$$\begin{cases} \nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\ \nabla \cdot \vec D = \rho _f\\ \nabla \times \vec H_a = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f + \underbrace{\nabla\times\vec M}_{\vec{J_a}}\\ \nabla \cdot (\mu_0\vec H_a) = 0 \end{cases}$$ותנאי השפה:$$\begin{cases} \hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\ \hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\ \hat n \times (\vec H_{a,2}-\vec H_{a,1}) = \vec K_f + \underbrace{\hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)}_{\vec{K_a}}\\ \hat n \cdot (\mu_0\vec H_{a,2} - \mu_0\vec H_{a,1}) = 0 \end{cases}$$

2. מודל המטענים המגנטיים
למרות שעד כה אין ראיות להמצאות מטענים מגנטיים "בודדים" (מונופולים) בטבע, לפחות מתמטית ניתן להניח את קיומם כדי לבנות מודל שמתבסס על השוואה בין פולריזציה לבין המגנטיזציה:$$\vec P \Leftrightarrow \mu_0\vec M$$צפיפות המטען הנפחית:$$\rho_p = -\nabla\cdot\ P \Leftrightarrow \rho_m = -\nabla\cdot (\mu_0\vec M)$$צפיפות הזרם:$$\vec{J_p} = \frac{\partial p}{\partial t} \Leftrightarrow \vec{J_m} = \frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M) $$צפיפות המטען המשטחית:$$\eta_p = -\hat n\cdot(\vec P_2 - \vec P_1) \Leftrightarrow \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)$$

חוק שימור המטען המגנטי
קיבלנו את הביטוי לצפיפות המטען המשטחית:$$\eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1) $$נגזור אותו בזמן:$$\frac{\partial\eta_m}{\partial t} = -\hat n\cdot(\mu_0\vec \frac{\partial M_2}{\partial t} - \mu_0\frac{\partial \vec M_1}{\partial t}) = -\hat n\cdot(\vec{J_{m_2}}-\vec{J_{m_1}}) $$וקיבלנו את חוק שימור המטען המגנטי:$$-\frac{\partial\eta_m}{\partial t} = \hat n\cdot(\vec{J_{m_2}}-\vec{J_{m_1}}) $$

משוואות מקסוול במודל המטען (אנלוגיה עם מודל הפולריזציה החשמלית)
נרשום את משוואות מקסוול:$$\begin{cases} \nabla \cdot (\epsilon_0E) = \rho _f + (-\nabla\cdot P)\\ \nabla \times H = \frac{\partial (\epsilon_0E)}{\partial t} + J_f + \frac{\partial P}{\partial t}\\ \hat n\cdot(\epsilon_0E_2-\epsilon_0E_1) = \eta_f + (-\hat n\cdot[P_2-P_1]) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \nabla \cdot (\mu_0\vec H) = \underbrace{\rho_{mf}}_{=0 } +\rho_m = \rho_m\\ \nabla \times\vec E = -\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec H) -\underbrace{\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M)}_{J_m}- \underbrace{J_{mf}}_{=0} \\ \hat n\cdot(\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \underbrace{\eta_{mf}}_{=0} + \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1) \end{cases}$$

סיכום המודלים - משוואות מקסוול בחומר
מודל הזרם האמפרי:$$\begin{cases} \nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\ \nabla \cdot \vec D = \rho _f\\ \nabla \times (\vec H_a-\vec M) = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\ \nabla \cdot (\mu_0\vec H_a) = 0\\ \hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\ \hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\ \hat n \times ([\vec H_{a,2}-\vec M_2]-[\vec H_{a,1}-\vec M_1]) = \vec K_f\\ \hat n \cdot (\mu_0\vec H_{a,2} - \mu_0\vec H_{a,1}) = 0 \end{cases}$$מודל המטען המגנטי:$$\begin{cases} \nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\ \nabla \cdot \vec D = \rho _f\\ \nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\ \nabla \cdot (\mu_0 [\vec H+\vec M]) = 0\\ \hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\ \hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\ \hat n \times (\vec H_2 - \vec H_1) = \vec K_f\\ \hat n \cdot (\mu_0[\vec H_2 + \vec M_2] - \mu_0[\vec H_1+\vec M_1]) = 0 \end{cases}$$נשים לב לכך שאם נגדיר $$\vec H +\vec M = \vec H_a $$ נקבל בדיוק את אותן משוואות!

משוואות מקסוול בחומר - צפיפות השטף המגנטי
$$\begin{cases} \nabla \times \vec E = -\frac{\partial B}{\partial t}\\ \nabla \cdot \vec D = \rho _f\\ \nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\ \nabla \cdot \vec B = 0\\ \hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\ \hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\ \hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f\\ \hat n \cdot (\vec B_2 - \vec B_1) = 0 \end{cases}$$נגדיר $$\vec B = \mu_0\vec H_a$$ צפיפות השטף המגנטי.

תזכורת: $$\vec D = \epsilon_0\vec E +\vec P$$

דוגמה 1
גליל קטן בעל מגנטיזציה אחידה $$\vec M = M\hat z$$.

מודל המטען:$$\rho_m = -\nabla\cdot(\vec\mu_0\vec M) = 0$$צפיפות המטען המשטחית על חלקו העליון של הגליל:$$\eta_{m,top} = -\hat z\cdot(0-\mu_0M\hat z) = \mu_0M$$צפיפות המטען המשטחית בתחתית הגליל:$$\eta_{m,bottom} = -\hat z\cdot(\mu_0M\hat z - 0) = -\mu_0M$$רחוק מאוד מהגליל נראה דיפול בעל מגנטיזציה:$$\vec m = \vec M\cdot V = M\pi a^2 h\hat z$$אם נסתכל על הגליל כדיפול נקבל:$$\mu_0\vec m = \mu_0M\pi a^2 \cdot h\hat z$$קיבלנו את אותו הביטוי! כעת אפשר להציב בביטוי לשדה דיפולי.

מודל הזרם האמפרי:$$\vec J_a = \nabla\times\vec M = 0$$$$\vec K_a = \hat r\times(0-M\hat z) = M\hat\varphi$$$$\vec H_a = \vec H +\vec M \Rightarrow \vec B = \overbrace{\mu_0\vec H_a = \mu_0(\vec H + \vec M)}^{\text{connection between models}}$$

דוגמה 2
כדור בעל מגנטיזציה אחידה. מהו $$\vec B$$ בכל המרחב?

נשתמש במודל המטען:$$\eta_m = -\hat n\cdot(\vec M_{out}-\vec M_{in})\mu_0 = -\hat r\cdot(0-M\hat z\mu_0) = M\hat r\cdot\hat z = M\cos\theta\mu_0$$צפיפות המטען:$$\rho_m = -\nabla\cdot(\mu_0\vec M) = 0$$נפתור באמצעות פוטנציאל סקלרי:$$\nabla\times\vec H = \underbrace{\vec J_f}_{=0} + \underbrace{\frac{\partial \vec D}{\partial t}}_{=0 \text{ static}} + \underbrace{\vec J_a}_{=0 \text{ Not using this field} } = 0 \Rightarrow \vec H = -\nabla\phi_m$$נציב ונקבל ממקסוול:$$\nabla\cdot(\mu_0\vec H) = \rho_m = 0 \Rightarrow \nabla\cdot(\mu_0\cdot(-\nabla\phi_m)) = 0$$קיבלנו את משוואת לפלס:$$\nabla^2\phi_m = 0$$נפתור את משוואת לפלס עם מקורות משטחיים בלבד:$$\begin{cases} \phi_m(r>>a)\rightarrow0\\ \phi_m(r\rightarrow0)<\infty\\ \hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f = 0\\ \hat n \cdot (\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \eta_m = \mu_0M\cos\theta \end{cases}$$נבחר פתרון כללי $$(l=0, n=1)$$:$$\phi = (c_1r+\frac{c_2}{r^2})\cos\theta$$$$\phi_{m_1} =Ar\cos\theta \quad, \quad \phi_{m_2} =\frac{C}{r^2}\cos\theta$$נציב בתנאי השפה:$$Aa\cos\theta = \frac{C}{a^2}\cos\theta \Rightarrow a^3A = C$$מתנאי השפה האחרון:$$\hat r \cdot [\mu_0\cdot(-\nabla\phi_{m_2}) - \mu_0(-\nabla\phi_{m_1})] = \mu_0M\cos\theta $$$$-\frac{\partial \phi_{m_2}}{\partial r} + \frac{\partial \phi_{m_1}}{\partial r} = M\cos\theta \Rightarrow -[\frac{-2C}{a^3}\cos\theta]+A\cos\theta=M\cos\theta \Rightarrow \frac{2C}{a^3}+A=M $$נקבל את המקדמים:$$A=\frac{M}{3} \quad, \quad C = a^3\frac{M}{3}$$נציב את המקדם חזרה בפוטנציאל הראשון:$$\phi_{m_1} =\frac{M}{3}r\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_1 = -\nabla\phi_{m_1} = -\frac{M}{3}\hat z$$נמצא את השדה המגנטי:$$\Rightarrow \vec B_1 = \mu_0\cdot(\vec H_1 +\vec M) = \mu_0\cdot(-\frac{M}{3}\hat z+M\hat z)=\frac{2}{3}\mu_0M\hat z$$כעת נציב את המקדם בפוטנציאל השני:$$\phi_{m_2} =\frac{M}{3}\frac{a^3}{r^2}\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_2 = -\nabla\phi_{m_2} = \frac{Ma^3}{3r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] \quad , \vec B_2 = \mu_0\vec H_2 $$תזכורת - שדה מגנטי של דיפול:$$\vec H_{dip} = \frac{m}{4\pi r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] $$נשווה מקדמים ונקבל:$$\frac{m}{4\pi} = \frac{Ma^3}{3} \Rightarrow m = M\cdot\underbrace{\frac{4}{3}\pi a^3}_{V_{ball}} $$

יחסי חוקה - סוספטביליות מגנטית, פרמאביליות
כפי שראינו במקרה החשמלי, גם כאן תכונות החומר מתוארות על ידי ביטוי בקשר $$ \vec M \rightarrow \vec H       $$.

עבור שדה מגנטי, המקרה בו היחס אינו לינארי נפוץ מאוד.

אך, בכל זאת קיימות סיטואציות רבות בהן ניתן להגדיר את הקשר באופן לינארי, ולקבל:$$\vec M = \chi_m\vec H \Rightarrow \vec B = \mu_0(\vec H + \vec M) = \overbrace{\mu_0 \underbrace{(1+\chi_m)}_{\equiv \mu_r}}^{\equiv \mu} \vec H $$כאשר $$\chi_m $$ הסוספטביליות המגנטית.

משוואות מקסוול בחומר לינארי
נוכל לעדכן את משוואות מקסוול עבור חומרים לינאריים:$$\begin{cases} \nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu\vec H)}{\partial t}\\ \nabla \cdot (\epsilon\vec E) = \rho _f\\ \nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon\vec E)}{\partial t} + \vec J_f\\ \nabla \cdot (\mu\vec H) = 0\\ \hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\ \hat n \cdot (\vec \epsilon_2\vec E_2-\epsilon_1\vec E_1) = \eta_f\\ \hat n \times (\vec H_2 - \vec H_1) = \vec K_f\\ \hat n \cdot (\mu_2\vec H_2 + \mu_1\vec H_1) = 0 \end{cases}$$

חומרים לא מגנטיים

 * חומרים פאראמגנטיים - כפי שאמרנו, התגובה חלשה והדיפולים יכולים להסתדר בכיוון $$ \vec A       $$. לכן, $$ 0<\chi_m <<1        $$
 * חומרים דיאמגנטיים - כתוצאה מתגובה השראתית, הדיפול משתנה כדי לאזר שינוי כשטף. מתוך עיקרון לנץ התגובה בכיוון הפוך ל - $$ \vec H      $$ שמעורר, ולכן $$ \chi_m<0, |\chi_m|<<1        $$.

חומרים מגנטיים

 * חומרים פרומגנטיים - חומרים בעלי תגובה חזקה מאוד לשדה מגנטי. מבנה האטום, והאלקטרונים בקליפה גורמים לאינטרקציה בין הדיפולים המגנטיים בחומר, מה שגורם להן להסתדר בכיוון זהה. בחומרים אלו כאשר מכבים את השדה המגנטי נשארת מגנטיזציה שיורית, ויש להשקיע אנרגיה כדי לבטלה (לדוגמא לחמם מתכת) בד"כ במתכות מעבר כגון ברזל, ניקל, קובלט. תגובה חזקה זו גורמת לערכי $$ \chi_m       $$ מאוד גבוהים ($$ \chi_m>1000        $$).
 * חומרים פרימגנטיים - גם בעלי תגובה חזקה. מנגנון המגנוט מורכבים, יש בהם 2 אטומים שונים בעלי מומנט דיפול שונה שיכולים להסתדר הפוך, ולהשאיר דיפול שקול שונה.