User:Ronelm/sandbox13

משפט פוינטינג
בוואקום ראינו את משפט פוינטינג:$$-\nabla\cdot \underbrace{(\vec E \times \vec H)}_{\vec S} = \frac{\partial}{\partial t}\underbrace{(\frac{\epsilon_0}{2}|\vec E|^2+\frac{\mu_0}{2}|\vec H|^2)}_{\text{stored energy}} +\underbrace{\vec E \cdot \vec J}_{\text{conduction power} } $$כעת, לאחר שפתרנו את משוואות מקסוול בחומר ורכשנו הבנה על התגובה של חומרים לשדות הפועלים בתוכם, ננסה להבין את ההשפעה של מאזן האנרגיה בבעיה. לצורך כך, נביט על:$$-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = -(\nabla\times\vec E)\cdot\vec H + \vec E\cdot(\nabla\times\vec H) = -\vec H\cdot\underbrace{(-\partial_t\vec B)}_{Faraday} + \vec E\cdot\underbrace{(\vec J + \partial_t\vec D)}_{Amper}= \vec H\cdot(\partial_t\vec B) + \vec E\cdot(\vec J + \partial_t\vec D) $$כאשר במעבר הראשון השתמשנו בזהות הוקטורית האהובה:$$\nabla\cdot(A \times B) = B\cdot(\nabla\times A) - A\cdot(\nabla\times B) $$נשתמש בהגדרות המוכרות:$$\vec D = \epsilon_0\vec E + \vec P \quad ,\quad \vec B = \mu_0(\vec H +\vec M) \quad, \quad \vec J = \underbrace{\vec J_{cond}}_{conduction} +\underbrace{\vec J_s}_{source}  $$נציב במשוואה שפיתחנו למשפט פוינטינג ונקבל:$$-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \vec H\cdot\partial_t[\mu_0(\vec H+\vec M)] + \vec E\cdot\partial_t[\epsilon_0\vec E + \vec P]+ \vec E\cdot(\vec J_s + \vec J_{cond}) $$נסתכל על כל רכיבי המשוואה:$$-\nabla\cdot(\underbrace{\vec E \times \vec H}_{\vec S}) = \underbrace{\vec H\cdot\partial_t(\mu_0\vec H)}_{W_H} + \underbrace{\vec H\cdot\underbrace{\partial_t(\mu_0\vec M)}_{\vec J_m}}_{P_H} + \underbrace{\vec E\cdot\partial_t(\epsilon_0\vec E)}_{W_E} + \underbrace{\vec E\cdot\underbrace{\partial_t\vec P}_{\vec J_p}}_{P_E}+ \underbrace{\vec E\cdot\vec J_s}_{P_S} + \underbrace{\vec E\cdot\vec J_{cond}}_{P_{cond}=\sigma|\vec E|^2} $$כאשר הגדרנו: איברים חיוביים - הספק מתבזבז. למה?

גם רואים את זה מהספק ההולכה, שאנחנו יודעים ויודעות שמבזבז אנרגיה במקרה האוהמי הפשוט.

הספק מקורות
במקור $$\vec E$$ ו $$\vec J$$ בכיוונים הפוכים, ולכן $$\vec E \cdot \vec J <0$$ ויש הספק שמסופק ע"י המקור.$$\vec E \cdot \vec J < 0 \Rightarrow \text{Providing Energy} $$$$\vec E \cdot \vec J > 0 \Rightarrow \text{dissipating Energy} $$

הספק פולריזציה
כאשר נחזור חזרה, נקבל את אותה עבודה, אך בסימן שלילי, ולכן $$W_{p,\ 0\rightarrow E_0 \rightarrow 0} = 0 $$.$$P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P \Rightarrow W_p = \int_{t_1}^{t_2}\vec E\cdot\partial_t\vec P\cdot dt = \int_{t_1}^{t_2}\vec E\cdot\frac{\partial\vec P}{\partial t}\cdot dt = \int_{P_1}^{P_2}\vec E\cdot d\vec P   $$במקרה מחזורי $$E_0\rightarrow -E_0 \rightarrow E_0 $$, לדוגמה $$E(t) = E_0\cos(\omega t) $$, ההפסד במחזור שלם הוא שטח הלולאה $$W_{p,\ 0\rightarrow E_0 \rightarrow 0} > 0 $$.

הספק פולריזציה - חומר דיאלקטרי
$$P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P = \vec E\cdot\partial_t\epsilon_0\chi_E\vec E  $$אם $$\chi_E   $$ לא תלוי בזמן, ניתן לרשום:$$P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P = \epsilon_0\chi_E\vec E\cdot\partial_t\vec E = \epsilon_0\chi_E\cdot\frac{1}{2}\partial_t|\vec E|^2   $$ניתן במקרה זה "לצרף" את הספק הפולריזציה לאנרגיה האגורה.$$W_E + W_P =  \frac{1}{2}\partial_t\epsilon_0|\vec E|^2+\frac{1}{2}\partial_t\epsilon_0\chi_E|\vec E|^2=\frac{1}{2}\partial_t(1+\chi_E)|\vec E|^2\epsilon_0 = \frac{1}{2}\partial_t\epsilon|\vec E|^2 = W_{E,material}   $$

הספק מגנוט
הגדרנו את צפיפות הספק המגנטיזציה כך:$$P_m = \vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t}  $$לכן, נוכל לחשב את הספק המגנוט:$$\Rightarrow W_m = \int_{t_1}^{t_2}\vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t}dt = \mu_0\int_{M_1}^{M_2}\vec H\cdot d\vec M   $$אם החומר מגיב ע"י: $$M = \chi_m \vec H$$אז התמונה זהה למצב של חומר דיאלקטרי.

משפט פוינטינג בחומרים לינאריים
אם יש חומר לינארי לגמרי שבו $$\vec D = \epsilon\vec E \ ,\ \vec B = \mu\vec H   $$ אז ניתן לכתוב את משפט פוינטינג באופן הבא:$$-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \frac{\partial}{\partial t}(\frac{\epsilon}{2}|\vec E|^2)+\frac{\partial}{\partial t}(\frac{\mu}{2}|\vec H|^2) + \sigma|\vec E|^2 + \vec E \cdot \vec J_S  $$