User:Ronelm/sandbox3A

מבוא
משוואות מקסוול שקיבלנו בהרצאות הקודמות הינן:

$$(1)\text{ } \nabla \times E = -\mu_0 \frac{\partial H}{\partial t}$$$$(2)\text{ }\nabla \times H = \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t} + J$$$$(3)\text{ }\nabla \cdot (\epsilon_0 E) = \rho$$$$(4) \text{ }\nabla \cdot (\mu_0 H) = 0$$נשים לב כי אלו משוואות מצומדות, כלומר - הפעלת שדה מגנטי משתנה בזמן יוצרת שדה חשמלי משתנה בזמן (משוואה 1), אך משינוי בשדה החשמלי, ישתנה גם השדה המגנטי (משוואה 2),

דהיינו לא ניתן למצוא את השדה החשמלי, בלי לדעת מהו השדה המגנטי.

משוואות מקסוול - פתרונות גליים
על מנת לפתור את בעיית הצימוד, ניתן כמובן להניח שהשדות סטטיים, ואז הנגזרות הזמניות מתאפסות.

אך, הפתרונות הגליים, המשתנים בזמן, הם אלו שמאפשרים את האפליקציות הטכנולוגיות ותופעות הטבע כמו אור השמש שמגיע אלינו (פיזור), ולכן אנו לא יכולים להתעלם מהשפעתן של הנגזרות הזמניות.

משוואות מקסוול - משטר קווזי סטטי
על מנת לפתור את הבעיה לעיל, נציג את הפיתרון הקווזיסטטי למשוואות הגלים.

במשטר קווזיסטטי אנו מניחים שהשדות משתנים בזמן, אך לאט מאוד.

מה הכוונה ב"משתנים לאט מאוד"? נראה בהמשך הפרק.

משוואת הגלים - תווך חסר מקורות
בתווך חסר מקורות:

$$\vec J = 0, \rho = 0$$כעת, נפעיל רוטור על שני האגפים של משוואה (1) (חוק פארדיי):

אגף שמאל:

$$\nabla \times (\nabla \times \vec E) = \underbrace{\nabla \cdot (\nabla \cdot \vec E)}_{\rho = 0} - \nabla^2 \vec E= -\nabla^2 \vec E$$כאשר במעבר הראשון השתמשנו בזהות וקטורית:

$$\nabla \times (\nabla \times \vec a) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec a) - \nabla^2 \vec a$$אגף ימין:

$$\nabla \times (-\mu_0 \frac{\partial \vec H}{\partial t})= -\mu_0 \nabla \times \frac{\partial \vec H}{\partial t}$$מכיוון שהנחנו שכל השדות שאנו עובדים איתם הינם גזירים ורציפים, נחליף את הסדר בין הרוטור המרחבי שפועל על השדה המגנטי, לנגזרת בזמן:

$$=-\mu_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \vec H) = -\mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \underbrace{ (\epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t} + \underbrace{\vec J}_{J=0})}_ {\text{Eq. 2 - Ampere's law}} = - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}$$בסך הכל נקבל:

$$-\nabla^2 \vec E = - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}$$

נגדיר את מהירות הגל להיות $$c \equiv \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$$, נעביר אגפים ונקבל את משוואת הגלים:$$(5) \text{ }\nabla^2 \vec E - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} = 0$$זוהי מערכת של 3 משוואות גלים סקלריות לכל רכיב ($$\hat x, \hat y, \hat z$$).

משוואת הגלים - תווך חסר מקורות - פתרונות
כעת נרצה לפתור את משוות הגלים שקיבלנו, ולהבין כיצד נראים השדות החשמליים והמגנטיים שמקיימים אותה.

נזכור כי משוואת הגלים נובעת ממשוואות מקסוול, ולכן כל פיתרון של משוואת הגלים מוכרח לקיים את תנאי השפה של משוואות מקסוול.

השדה החשמלי
על מנת להבין אינטואיטיבית את פיתרון משוואת הגלים, נניח את הפיתרון הבא:

$$\vec E = E_x(z,t) \hat x$$כלומר, שדה חשמלי שתלוי בזמן ובקורדינטה Z, וכיוונו בקורדינטה X.

נציב את התוצאה בנוסחה (5):

$$\nabla^2 \vec E - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} = \underbrace{\frac{\partial^2 E}{\partial x^2}}_{=0} + \underbrace{\frac{\partial^2 E}{\partial y^2}}_{=0} + \frac{\partial^2 E}{\partial z^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}

= \frac{\partial^2 E}{\partial z^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}$$

כעת קיבלנו משוואה פשוטה יותר, שהפיתרון שלה הוא:

$$(6) \text{ }

\vec E = E_x(z,t) \hat x = (f_1(t-\frac{z}{c}) + f_2(t+\frac{z}{c})) \hat x$$כאשר f1,f2 פונקציות שרירותיות.

השדה המגנטי
כעת, כדי למצוא את השדה המגנטי, נציב את השדה החשמלי שמצאנו לתוך משוואה (1) (חוק פאראדיי):

מצד שמאל:

$$\nabla \times \vec E = \begin{vmatrix} \hat x & \hat y & \hat z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ E_x & E_y & E_z

\end{vmatrix}

= \begin{vmatrix} \hat x & \hat y & \hat z \\ 0 & 0 & \frac{\partial}{\partial z} \\ E_x & 0 & 0

\end{vmatrix} = \frac{\partial E_x}{\partial z} \hat y$$כאשר איפסנו את הנגזרות בכיוון x,y ואת השדות בכיוונים y,z משום שהשדה שלנו תלוי ב z וכיוונו הוא ב x.

נציב את תוצאת משוואה (6) לתוך תוצאת הרוטור

$$\frac{\partial E_x}{\partial z} = \frac{\partial f_1(t - \partial{z}{c})}{\partial z} + \frac{\partial f_2(t + \partial{z}{c})}{\partial z} \underbrace{=}_{\text{ chain rule}}

\underbrace{ \frac{\partial f_1(t - \frac{z}{c})}{\partial (t-\frac{z}{c})}}_{f'_1} \cdot \underbrace{ \frac{\partial (t-\frac{z}{c})}{\partial z}}_{-\frac{1}{c}} + \underbrace{ \frac{\partial f_2(t + \frac{z}{c})}{\partial (t+\frac{z}{c})} }_{f'_2} \cdot \underbrace{ \frac{\partial (t+\frac{z}{c})}{\partial z}}_{\frac{1}{c}} = -\frac{f'_1}{c} + \frac{f'_2}{c} = -\frac{1}{c} (f'_1-f'_2) = - \sqrt{\mu_0 \epsilon_0} (f'_1 - f_2')$$כעת נציב בחוק פאראדיי:

$$- \sqrt{\mu_0 \epsilon_0} (f'_1 - f_2') \hat y = -\mu_0 \frac{\partial \vec H}{\partial t}$$נחלץ את השדה המגנטי:

$$\partial \vec H = \sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} (f_1'(t-\frac{z}{c}) - f_2'(t+\frac{z}{c})) \partial t \text{ } \hat y$$$$\partial \vec H = \sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} (\frac{f_1(t-\frac{z}{c})}{\partial(t-\frac{z}{c})} - \frac{\partial f_2(t+\frac{z}{c})}{\partial (t+\frac{z}{c} )}) \partial t \text{ } \hat y$$נשים לב כי:

$$\partial t = \partial(t-\frac{z}{c}) = \partial(t+\frac{z}{c})$$לכן הנגזרות הזמניות של f1,f2 יתבטלו עם הנגזרת הזמנית $$\partial t$$. אחרי אינטגרציה בזמן נקבל (נאפס את קבוע האינטגרציה c):

$$\vec H = \sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} (f_1 - f_2)\hat y$$ואכן, כצפוי קיבלנו שהשדה המגנטי ניצב לשדה החשמלי.

תכונות הפתרונות
נרצה לשאול: מהי "מהירות" הגל? כלומר, באיזו מהירות עלינו לנוע על מנת להישאר עם השיא?

נביט בשרטוט בצד שמאל, של $$f_1 (t-\frac{z}{c})$$:

ברגע $$t=0$$ הארגומנט הוא: $$const = -\frac{z}{c}$$

ולפיכך, בזמן כלשהו $$t$$, נקבל: $$t-\frac{z}{c}=const$$.

לכן:

$$z=c(t - const)$$לכן נבין, כי הגל נע במהירות c, שהגדרנו אותה כמהירות האור:

$$c\equiv \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} \approx 3\cdot {10^8} [\frac{m}{s}]$$והשדות הינם:

$$\vec E = f_1(t-\frac{z}{c}) \hat x$$$$\vec H = \sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} f_1(t-\frac{z}{c}) \hat y \equiv \frac{1}{\eta} f_1(t-\frac{z}{c}) \hat y$$כאשר $$\eta$$ הוא קבוע שנקרא "אימפדנס הואקום", והוא שווה ל:

$$\eta \approx 377 [\Omega]$$עד כה, דנו בפיתרונות כללים למשוואת הגלים (f1,f2 פונקציות ארביטרריות), כעת נרצה למצוא פיתרונות הרמוניים למשוואת הגלים.

משוואת הגלים - פתרונות הרמוניים
הפתרונות ההרמוניים הם מהפתרונות החשובים והשימושיים ביותר למשוואת הגלים, ננחש:

$$f_1(t) = A_1 \cdot cos(\omega t)$$ולכן נקבל את השדות:

$$\vec E = f_1(t-\frac{z}{c}) \hat x = A_1\cdot cos(\omega(t - \frac{z}{c})) \hat x$$$$\vec H = \frac{1}{\eta}f_1(t-\frac{z}{c}) \hat y = \frac{1}{\eta} A_1\cdot cos(\omega(t - \frac{z}{c})) \hat y$$כאשר לעתים קרובות נהוג להגדיר את מספר הגל, כ:

$$k \equiv \frac{\omega}{c} [\frac{1}{m}]$$

כפי שניתן לראות בשרטוטים מצד שמאל, השדה החשמלי (הגל הסגול) מאונך לשדה החשמלי (הגל הצהוב), ושניהם מאונכים לכיוון התקדמות הגל (z), לכן נקבל שלשה ציקלית ימנית: $$\vec E, \vec H, \hat z$$

נשאל, מדוע הפיתרון ההרמוני שהצגנו נקרא "גל מישורי"?

מכיוון שכל הנקודות שעליהן השדה החשמלי קבוע, נמצאות על מישור שניצב לציר z.

זמן מחזור
אם נעמוד בנקודה מסויימת $$z=z_0$$, ונמדוד את השדה החשמלי כתלות בזמן, קיים זמן כלשהו, שנקרא זמן המחזור ומוגדר:

$$T=\frac{2\pi}{\omega}$$ שעבורו מתקיים:

$$E_x(z,t_0) = E_x(z,t_0 + T)$$

אורך גל
אם "נקפיא" את הזמן ונמדוד את השדה החשמלי בכיוון x, נקבל את אורך הגל:

$$\lambda = \frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi c}{\omega}=\frac{c}{f}$$משוואת הגלים - פתרונות הרמוניים - ייצוג פאזורי
לעתים מסובך אלגברית להשתמש בייצוג של סינוסים וקוסינוסים לפונקציות מחזוריות (במיוחד עבור גזירה ואינטגרציה), לכן כדי לפתור בעיה זו ניג את הייצוג הפאזורי של הפתרונות ההרמוניים:

=== $$\vec E = \Re\{\vec \tilde E (\vec r, \omega)\cdot {e^{j \omega t}}\}= \frac{1}{2} \{ \vec \tilde E {e^{j \omega t}} + \vec \tilde E^{*} {e^{-j \omega t}} \}$$$$\vec H = \Re\{\vec \tilde H (\vec r, \omega)\cdot {e^{j \omega t}}\}= \frac{1}{2} \{ \vec \tilde H {e^{j \omega t}} + \vec \tilde H^{*} {e^{-j \omega t}} \}$$משוואת הגלים - משוואת הלמהולץ === נציב את הייצוג הפאזורי למשוואת הגלים:

$$\nabla^2 \vec E - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} = \frac{1}{2} \underbrace{ \nabla^2 [\vec \tilde E {e^{j \omega t}} + \vec \tilde E^{*} {e^{-j \omega t}} ]}_ {=\nabla ^2 \vec \tilde E \cdot {e^{j \omega t}} + \nabla ^2 \vec \tilde E^* \cdot {e^{- j \omega t}}} - \frac{1}{2c^2} \cdot \frac{\partial^2}{\partial t^2} \underbrace{ [\vec \tilde E {e^{j \omega t}} + \vec \tilde E^{*} {e^{-j \omega t}} ]}_ {=-\omega^2 (\vec \tilde E \cdot {e^{j \omega t}} - \vec \tilde E^* \cdot {e^{- j \omega t}})} = 0$$נכפול את הביטוי ב 2, ונכנס אגפים, לפי חזקת האקספוננט:

$${e^{j \omega t}} (\nabla^2 \vec \tilde E + \frac{\omega ^2}{c^2} \vec \tilde E) + {e^{- j \omega t}} (\nabla^2 \vec \tilde E^* - \frac{\omega ^2}{c^2} \vec \tilde E^*) = 0$$מאחר והאקספוננטים לעולם לא יתאפסו, כל אחד מהאיברים בסוגריים מתאפס זהותית:

$$ \nabla^2 \vec \tilde E + k^2 \vec \tilde E = 0 \text{ ; } \nabla^2 \vec \tilde E^* - k^2 \vec \tilde E^* = 0$$כאשר K הוא מספר הגל (ראינו אותו כבר).

נקבל לבסוף את משוואת הלמהולץ - משוואת הגלים בתחום התדר:$$\nabla^2 \tilde E + k^2 \tilde E = 0$$

משוואת הגלים - משוואת הלמהולץ - גל מישורי כללי
נכתוב את השדה החשמלי כ:

$$\tilde E = \tilde E_0 \cdot {e^{ -j (\vec k \cdot \vec r)}}$$נשים לב שאם נבחר את וקטור הגל להיות: $$\vec k = k \hat z$$, נקבל את הפיתרון שראינו מקודם.

נציב את השדה החשמלי החדש למשוואת הלמהולץ, ונקבל:

$$\nabla^2 \vec \tilde E + \frac{\omega^2}{c^2} \vec \tilde E

= \nabla^2(\tilde E_0 \cdot {e^{-j \vec k \cdot \vec r}})+ \frac{\omega^2}{c^2} \vec \tilde E = (-j \vec k)\cdot (-j \vec k) \cdot \tilde E_0 \cdot {e ^ {-j \vec k \cdot \vec r}}+ \frac{\omega^2}{c^2} \vec \tilde E = (-\vec k \cdot \vec k) \tilde E_0 \cdot {e^{-j \vec k\cdot \vec r}}+ \frac{\omega^2}{c^2} \vec \tilde E = (-\vec k \cdot \vec k + \frac{\omega^2}{c^2})E = 0$$

על מנת לקיים את המשוואה, נוכל מחד לאפס את השדה החשמלי, אבל אז נקבל פתרונות לא מעניינים, מנגד ניתן לאפס את הביטוי בסוגריים:

$$k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = (\frac{\omega}{c})^2$$ קיבלנו משוואה שמזכירה משוואה של כדור, ולכן כל הווקטורים האפשריים נמצאים על שפה של כדור, שנקרא Ewald sphere.

נציב בחוק גאוס:

$$\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \nabla \cdot (\epsilon_0 \tilde E_0 {e^{-j \vec k \cdot \vec r}}) =

-j \vec k \cdot \epsilon_0 \tilde E_0 {e^{-j \vec k \cdot \vec r}} = 0$$ולכן:

$$\vec k \cdot \tilde E_0=0$$כלומר, ווקטור K ניצב לשדה החשמלי.

ניתן לקבל באופו אופן:

$$\vec k \cdot \tilde H_0=0$$ניתן לראות שקיבלנו שוב את השלשה הימנית.

משוואת הגלים - גל מישורי כללי - מישורים שווי פאזה
נרצה לחזור חזרה לתחום הזמן:

$$\vec E = \real \{  \vec \tilde E_0 {e^{-j \vec k \cdot \vec r}} \cdot {e^{j \omega t}} \} = \vec E_0 \cos(\omega t - \vec k \cdot \vec r)$$כמו שראינו מקודם, על מנת למצוא את הנקודות שבהם ווקטור השדה החשמלי קבוע, נשווה את הארגומנט של הקוסינוס למספר קבוע. נקבל:

$$\vec k \cdot \vec r = \omega t - const$$הפעם, עבור המקרה הכללי, קיבלנו כי המישור ניצב לוקטור k.

משוואות מקסוול עבור הפאזורים של השדות
אם נרשום את השדות:

$$\vec E = \real \{ \vec \tilde E \cdot {e^{j \omega t}} \} \text{ ; } \vec H = \real \{ \vec \tilde H \cdot {e^{j \omega t}} \}$$נציב את השדות החדשים במשוואות מקסוול, ונקבל את משואוות מקסוול הפאזוריות:

== $$\nabla \times \tilde E = -j \omega \mu_0 \tilde H$$$$\nabla \times \tilde H = j \omega \epsilon_0 \tilde E + \tilde J$$$$\nabla \cdot \epsilon_0 \tilde E = \tilde \rho$$$$\nabla \cdot \mu \tilde H = 0$$קוואזי סטטיקה == על מנת לפתור את הבעיה, שדנו בה בתחילת הפרק, נצטרך להגדיר ולהבדיל בין שדות שמתשנים "מהר" לשדות שמשתנים "לאט".

שדות שמשתנים מהר $$L > \lambda$$ :
במקרה זה השדות משתנים בצורה משמעותית לאורך המערכת.

במקרה זה, נאלץ לספק פיתרון מלא למשוואות מקסוול.

שדות שמשתנים לאט $$L<<\lambda$$:
במקרה זה, השדה משתנה "לאט" ביחס לגודל המערכת.

מה יהיה הזמן שלוקח לגל להתפשט במערכת ולחזור לנקודת התחלה?

=== $$t_{\text{propagating}} = \frac{2L}{c} << \frac{2 \lambda}{ c} = \frac{2}{c} \cdot \frac{2\pi c}{ \omega} = 2 \cdot \frac{2 \pi}{\omega} = 2T$$דוגמא: === נתון מעגל חשמלי שגודלו 1cm.

התדר האופייני של הסיגנל במערכת הוא $$f= 1KHz$$.

מה אורך הגל האופייני?

$$\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3\cdot {10^8}} = 300 Km >> 1cm$$הקירוב שלנו מתקיים, ולכן נוכל לפתור מערכת זו בקירוב קווזי סטטי.