User:Ronelm/sandbox3B

תזכורות
בהרצאה 1 קיבלנו את משוואות מקסוול, ובהרצאה 2 את תנאי השפה.

משוואות מקסוול - משטר קוואזיסטטי
כנקודת התחלה לקירוב הקוואזיסטטי, השדות משתנים לאט בזמן:

$$\frac{\partial}{\partial t} \longrightarrow 0$$נרצה לדעת ולתאר עבור אילו פרמטרים של המערכת הקירוב הזה רלוונטי.

הטור הקוואזיסטטי
נרשום את השדות באמצעות טור:

$$\vec E(\vec r,t) = \sum_{n=0}^\infty \vec E^{(n)} (\vec r, t) \text{ ; } \vec H(\vec r,t) = \sum_{n=0}^\infty \vec H^{(n)} (\vec r, t) $$כאשר n הוא סדר האיבר בטור.

זהו טור אסימפטוטי ביחס ל $$\frac{\partial}{\partial t} \longrightarrow 0$$:

$$\lim_{\frac{\partial} {\partial t}\rightarrow 0} \frac{E^{(n)}} {E^{(n-1)}} << 1$$נרשום טור זהה למקורות:

$$\vec J (\vec r, t) = \sum_{n=0}^\infty \vec J ^{(n)} (\vec r, t) \text{ ; } \rho (\vec r, t) = \sum_{n=0}^\infty \vec \rho ^{(n)} (\vec r, t) $$נשים לב כי קיימים מספר הבדלים בטור חזקות שהגרנו עד כה, לבין טור אסימפטוטי.

טור חזקות רגיל
נגדיר לפונקציה טור חזקות סביב $$x_0$$:

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x - x_0)^n$$אם רדיוס ההתכנוס של הטור הוא R, אז לכל $$|x-x_0|<R$$

שארית הטור:

$$\epsilon_N = \sum_{n=N+1}^\infty b_n (x - x_0)^n$$מתקיים:

$$\lim_{N\rightarrow \infty} \epsilon_N = 0$$

טור אסימפטוטי
אם לפונקציה יש פיתוח סביב $$x_0$$:

$$f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n \phi_n (x - x_0)$$$$\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{\phi_{n+1}}{\phi_n}=0$$עבור $$x\rightarrow x_0$$ השגיאה מקיימת:

$$\epsilon_N = [f(x) - \sum_{n=0}^N a_n \phi_n (x-x_0) ] << \phi_N (x-x_0)$$הטור לא חייב:


 * להיות טור מתכנס
 * עבור $$x\neq x_0$$ לשפר את דיוק הקירוב כאשר מוסיפים איברים נוספים!

משוואות הקוואזיסטטיקה - הקשר בין האברים בטור הקוואזיסטטי
נזכיר שכל הקירוב מתבצע עבור $$\frac{\partial}{\partial t}\rightarrow0$$.

ניקח לדוגמא את חוק שימור המטען:

$$\nabla \cdot \vec J = -\frac{\partial \rho}{\partial t}$$נציב למשוואה את הטור הקוואזיסטטי של J ו ρ:

$$\nabla \cdot (\vec J^{(0)}+\vec J^{(1)}+\vec J^{(2)}+...) = -\frac{\partial}{\partial t}( \rho^{(0)} + \rho^{(1)} + \rho^{(2)}+...)$$נשים לב ש:

$$\vec J^{(0)} >> \vec J^{(2)} ; \frac{\rho^{(0)}}{T}>> \frac{\partial \rho^{(0)}}{\partial t}$$ולכן:

$$\underbrace{\nabla \cdot \vec J^{(0)}}_{\text{zero order}}+ \underbrace{\nabla \cdot \vec J^{(1)}}_{\text{first order}}+ \underbrace{\nabla \cdot \vec J^{(2)}}_{\text{second order}}+ ... = -\underbrace{\frac{\partial}{\partial t}\rho^{(0)}}_{\text{first order}} -\underbrace{\frac{\partial}{\partial t}\rho^{(1)}}_{\text{second order}} -\underbrace{\frac{\partial}{\partial t}\rho^{(2)}}_{\text{third order}}-...$$ולכן, אם נשווה בין כל סדר בנפרד נקבל:

$$\begin{cases} \nabla \cdot \vec J ^{(0)}=0 \\ \nabla \cdot \vec J ^{(1)}= -\frac{\partial}{\partial t} \rho ^{(0)} \\ \nabla \cdot \vec J ^{(2)}= -\frac{\partial}{\partial t} \rho ^{(1)} \\ \vdots \end{cases} $$נסיק כי גזירה של משתנה בזמן "מורידה" את הסדר שלו.

משוואות הקוואזיסטטיקה - חוק אמפר
חוק אמפר הוא כידוע:$$\nabla \times \vec H = \epsilon_0 \frac{\partial }{\partial t}\vec E+\vec J

$$נציב את הטורים, ונקבל:

$$\nabla \times (H^{(0)} + H^{(1)} + H^{(2)}) = \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}(E^{(0)}+E^{(1)} + E^{(2)}) + (J^{(0)} + J^{(1)} + J^{(2)} )$$ולכן, מהשוואת סדרים נקבל:

$$\begin{cases} \nabla \times \vec H^{(0)} = \vec J^{(0)} \\ \nabla \times \vec H^{(1)} = \epsilon_0 \frac{\partial }{\partial t}\vec E^{(0)} +\vec J^{(1)} \\ \nabla \times \vec H^{(2)} = \epsilon_0 \frac{\partial }{\partial t}\vec E^{(1)} +\vec J^{(2)} \\\vdots \end{cases}$$

משוואות הקוואזיסטטיקה - חוק פאראדיי
בצורה דומה, נוכל לקבל:

$$\begin{cases} \nabla \times E^{(0)} = 0 \\ \nabla \times E^{(1)} = -\mu_0 \frac{\partial H^{(0)}}{\partial t} \\ \nabla \times E^{(2)} = -\mu_0 \frac{\partial H^{(1)}}{\partial t} \\\vdots \end{cases}$$

משוואות הקוואזיסטטיקה - חוקי גאוס
$$\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho$$נשים לב שאין פה נגזרות זמניות, לכן הסדרים יהיו שווים משני הצדדים:

$$\begin{cases} \text{first order: } \nabla \cdot (\epsilon_0 E^{(0)}) = \rho ^{(0)} \\ \text{second order: } \nabla \cdot (\epsilon_0 E^{(1)}) = \rho ^{(1)} \\\vdots \end{cases}$$אותו הדבר קורה עבור חוק גאוס המגנטי.

שדה חשמלי
נציב את הטור הקוואזיסטטי לתנאי השפה של שדה חשמלי ניצב לשפה:

$$\hat n \cdot \left(\epsilon_{0} \vec{E}_{2}-\epsilon_{0} \vec{E}_{1}\right)=\eta$$ונקבל:

$$\begin{cases} \hat n \cdot (\epsilon_0 E_2^{(0)} - \epsilon_0 E_1^{(0)})=\eta^{(0)} \\ \hat n \cdot (\epsilon_0 E_2^{(1)} - \epsilon_0 E_1^{(1)})=\eta^{(1)} \\\vdots \end{cases}$$

שימור מטען
נציב את הטור הקוואזיסטטי לתוך:

$$\hat n \cdot (\vec J_2 - \vec J_1) + \nabla_{2D} \cdot \vec K = - \frac{\partial \eta}{\partial t}$$ונקבל:

$$\begin{cases} \hat n \cdot (\vec J_2^{(0)} - \vec J_1^{(0)}) + \nabla_{2D} \cdot \vec K^{(0)} = 0\\ \hat n \cdot (\vec J_2^{(1)} - \vec J_1^{(1)}) + \nabla_{2D} \cdot \vec K^{(1)} = - \frac{\partial}{\partial t} \eta^{(0) } \\ \vdots \end{cases}$$

משוואות הקוואזיסטטיקה - סיכום
נהוג לחלק את הפתרון הקוואזי - סטטי לשני מסלולים:

מסלול מגנטו - סטטי: אם רק שדה מגנטי מרכיב את סדר האפס.

מסלול אלקטרו - סטטי: אם רק שדה חשמלי מרכיב את סדר האפס.

דוגמא - EQS
נתון קבל המוזן ע"י מקור מתח בשני קצותיו (איור 1).

נתון כי $$d<<L,W$$ ולכן ניתן להזניח אפקטי שפה.

חשבו את השדות בקבל בקירוב הקוואזי סטטי (סדר 0,1,2).

נשים לב:


 * השדות בחוץ הם אפס
 * על המקורות אין תיקונים מסדר גבוה למתח

סדר 0
$$V(+)=V_0 \cdot cos(\omega t)$$כאמור, בסדר 0 הזמן הוא "פרמטר" ואנו פותרים בעיה סטטית:

$$\vec E ^{(0)} = -\frac{V}{d} \hat z = -\frac{V_0}{d} cos(\omega t) \hat z$$נמצא תנאי שפה, עבור הלוח העליון (בלוח התחתון נקבל תוצאות זהות, עם סימן הפוך):

$$\eta ^{(0)} = \hat z \cdot (0 - \epsilon_0 \frac{-V(t)}{d} \hat z)=\epsilon_0 \frac{V_0 \cdot cos(\omega t)}{d} $$$$Q^{(0)}= \eta^{(0)}\cdot LW = \epsilon_0 \frac{V_0 cos(\omega t)}{d}\cdot LW$$

תיקון סדר 1 - זרם דרך המקור (הדופן הלבנה)
נפעיל את חוק שימור מטען על הלוח העליון:

$$I_{out}^{(1)}= -\frac{\partial Q^{(0)} }{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial t} (\epsilon_0 \cdot \frac{LW}{d} \cdot V_0\cdot cos(\omega t)) = \epsilon_0 \cdot \omega \cdot \frac{LW}{d} \cdot V_0\cdot sin(\omega t) $$

מאחר והמקור מפולג באופן אחיד לאורך הדופן, הזרם זורם בו כזרם משטחי:

$$\vec K^{(1)} \cdot (-\hat z)\cdot L\cdot 2 = \epsilon_0 \cdot \omega \cdot \frac{LW}{d} \cdot V_0\cdot sin(\omega t) $$$$\vec K^{(1)} = - \epsilon_0 \cdot \omega \cdot \frac{W}{2d} \cdot V_0\cdot sin(\omega t) \hat z $$$$\vec K^{(1)} \hat z \cdot (- \hat z) \cdot 2L= \epsilon_0 \cdot \omega \cdot \frac{LW}{d} \cdot V_0\cdot sin(\omega t) $$

תיקון סדר 1 - שדה מגנטי
מה כיוון $$H^{(1)} $$?

לפני תנאי השפה על הלוח העליון:

$$\hat z \times (0- \vec H) = k \hat x \Rightarrow \vec H = H \hat y $$כדי לחשב את גודל הרכיב, נשתמש בחוק אמפר האינטגרלי (הלולאה מסומנת באיור (XXX)):

$$\oint H^{(1)} \cdot dl = \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \iiint E^{(0)}\cdot \hat n ds + \underbrace{\iint J^{(1)}\cdot \hat n ds}_{\text{all the passing current}} $$אגף שמאל:

$$\oint H^{(1)} \cdot dl = H \cdot D $$אגף ימין:

$$\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \iiint E^{(0)}\cdot \hat n ds + \iint J^{(1)}\cdot \hat n ds = \frac{\partial}{\partial t}(-\frac{V_0 cos(\omega t)}{d}\cdot x \cdot D) +\epsilon_0 \omega \frac{W}{2d} V_0 sin(\omega t) \cdot D $$ולכן:

$$\vec H^{(1)}(x) = \frac{\epsilon_0 V_0}{d} \omega \cdot sin(\omega t ) (x - W/2) \hat y $$כעת ניתן גם לקבל ביטוי מסודר ל $$\vec K $$ על הלוח העליון, בעזרת תנאי השפה:

$$\vec K = \hat z \times (0 - \frac{\epsilon_0 V_0}{d} \omega sin(\omega t) (x - W/2)\hat y) = \frac{\epsilon_0 V_0}{d} \omega sin(\omega t) (x - W/2) \hat x $$

תיקון סדר 1 - צפיפות זרם משטחית - לוח עליון
עשינו מקודם

תיקון סדר 2 - שדה חשמלי
אמרנו מקודם שאין תיקונים מסדר גבוה למתח, לכן:

$$V_{source}= -\int E^{(0)} dz = V_0 cos(\omega t) $$

נשתמש ב:

$$\oint E^{(2)} \cdot dl = -\mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \iiint H^{(1)}\cdot \hat n ds $$

באגף שמאל נניח שהשדה החשמלי הוא בכיוון z:

$$\oint E^{(2)} \cdot dl = - E^{(2)} \cdot D $$אגף ימין:

$$-\mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \int \frac{\epsilon_0 V_0}{d} \omega sin(\omega t)(x-W/2) \hat y D dy \cdot \hat y $$ולכן:

$$E^{(2)} = \frac{\omega^2}{2} cos(\omega t) \cdot \frac{\epsilon_0 \mu_0 }{d} V_0 (x^2 - \omega x)\hat z $$מתי הפיתרון תקף?

$$|E^{(2)}|/|E^{(0)}|<<1 $$$$\frac{|\omega ^2 cos(\omega t) \frac{\epsilon_0 \mu_0 V_0 }{2d} (x^2-Wx)|} {   |\frac{V_0 cos(\omega t)}{d}| } <<1 $$$$\Rightarrow \omega ^2 \epsilon_0 \mu_0 \frac{W ^2 }{8}<<1 \Rightarrow (\frac{\omega}{c})^2 << \frac{8}{W^2} \Rightarrow W << \sqrt{\frac{8}{(2 \pi)^2}} \lambda $$