User:Ronelm/sandbox4

אינטואיציה
מה ההספק שהמקור מספק בבעיה הזו?

$$P_{out} = v(t)\cdot i(t) = v(t) [i_L + i_C + i_R] = v(t)\cdot i_L + v(t) \cdot i_C + v(t) \cdot i_R = L\cdot \dot{i_L} \cdot i_L + v \cdot c \cdot \dot{v} + v \cdot \frac{v}{R} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} (L \cdot i_L^2) + \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} (C \cdot v^2) + \frac{v^2}{R}$$$$P_{out} = \frac{\partial}{\partial t} \underbrace{(\frac{1}{2}L i_L^2)}_{u_M} + \frac{\partial}{\partial t} \underbrace{(\frac{1}{2} C v^2)}_{u_E} + \underbrace{\frac{v^2}{R}}_{P_{\text{resistor loss}}}$$ולכן, שטף ההספק הנכנס למעגל:

=== $$P_{out} = \frac{\partial}{\partial t} (u_M + u_E) +

\underbrace{P_{loss}}_{>0}$$

חוקי שימור - חוק שימור המטען
גם חוק שימור המטען הוא חוק כזה:$$\iint \vec J \cdot \hat n ds = - \frac{d}{dt} \iiint \rho dV$$$$\Rightarrow F_{in} = -\frac{d}{dt}Q$$מבנה זהה למה שראינו קודם, ולכן באנלוגיה לחוק שימור המטען הדיפרנציאלי:

$$\nabla \cdot \vec J = -\frac{\partial \rho}{\partial t}$$כאן אין הפסדי הולכה, ולכן "חסר איבר", היינו מצפים לקבל משהו כמו: $$\nabla \cdot \vec S = \frac{d}{dt}u + P_{loss}$$

חוקי שימור - חוק שימור התנע
נביט בחוק שימור התנע:$$\vec F = \frac{d \vec p}{dt} / \cdot \vec p$$$$\Rightarrow \vec F \cdot \vec p = \vec p \frac{d\vec p}{dt}$$התנע הוא $$\vec p = m \vec v$$, ולכן:

$$\vec F \cdot m \vec v = \frac{\partial}{\partial t} [(\vec p \cdot \vec p)/2]$$$$\int \vec F \vec v =\int \frac{\partial}{\partial t} \underbrace{(\frac{|p|^2}{2m})}_{\text{kinetic energy}}$$ולכן:

$$W = \int \vec F \cdot \vec v = \frac{1}{2m} (p_f^2 - p_i^2)$$

כוח לורנץ
בהמשך לשאלה הקודמת, נניח כי יש מטען ρ, צפיפות זרם $$\vec J = \rho \vec v$$, ויש גם שדה חשמלי ומגנטי.

$$\underbrace{p}_{\text{lorentz force}} = \underbrace{\iiint}_{\text{system}} (\rho \vec E + \underbrace{\mu_0 \rho \vec v \times \vec H}_{\text{prependicular to }\vec v\Rightarrow =0} ) \cdot \vec v dv = \iiint \vec E \cdot \rho \vec v dv =\iiint \vec E \cdot \vec J dv$$נשתמש בזהות:

$$\nabla \cdot (E \times H ) = H \cdot (\nabla \times E) - E \cdot (\nabla \times H)$$נציב ב $$\vec E \cdot \vec J$$ את:

$$J = \nabla \times \vec H - \epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t}$$ונקבל:

$$\vec E \cdot \vec J = \vec E \cdot (\nabla \times \vec H - \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}) = -\epsilon_0 \vec E \frac{\partial \vec E}{\partial t} + \vec H \cdot \underbrace{(\nabla \times E)} _{=-\mu_0\frac{\partial \vec H}{\partial t}} - \nabla \cdot (\vec E \times \vec H) =

- \epsilon_0 \vec E \frac{\partial E}{\partial t} - \mu_0 \vec H \frac{\partial H}{\partial t} - \nabla \cdot (\vec E \times \vec H)$$נציב את הביטוי, בתוך האינטגרל, ונקבל:

$$\iiint \vec E \cdot \vec J dV = \iiint [\frac{\partial}{\partial t}( -\frac{\epsilon_0}{2} |E|^2 - \frac{\mu_0}{2} |H|^2) - \nabla \cdot (\vec E \times \vec H)] dV$$ולכן: $$\vec E \cdot (\nabla \times \vec H) = -\nabla \cdot (\vec E \times \vec H) + \vec H \cdot (\nabla \times \vec E) $$

חוקי שימור - משפט פוינטינג
מכיוון שהחוק חייב להתקיים עבור כל מעטפת (כלומר, בחירת המעטפת היא שרירותית):

$$\iiint \vec E \cdot \vec J dV = \iiint [\frac{\partial}{\partial t}( -\frac{\epsilon_0}{2} |E|^2 - \frac{\mu_0}{2} |H|^2) - \nabla \cdot (\vec E \times \vec H)] dV$$לכן חייב להתקיים שיוויון באינטגרנד:

$$- \underbrace{\nabla \cdot (\vec E \times \vec H)}_{\text{sources of flux of } \vec E \times \vec H} = \underbrace{\vec E \cdot \vec J}_{\text{power}} + \frac{\partial}{\partial t} \underbrace{(\epsilon_0 /2 |E|^2 + \mu_0 |H|^2)}_{\text{change of energy density}} $$

הגדלים במשפט פוינטינג
וקטור פוינטינג - מציין את כיוון "זרימת" צפיפות ההספק בבעיה ($$[\vec S] = \frac{\text{Watt}}{m^2} $$):

$$\vec S \equiv \vec E \times \vec H $$צפיפות האנרגיה החשמלית ($$[u_E]=\frac{J}{m^3} $$):

$$u_E = \frac{\epsilon_0}{2} |E|^2 $$צפיפות האנרגיה המגנטית ($$[u_M]=\frac{J}{m^3} $$):

$$u_M = \frac{\mu_0}{2} |H|^2 $$צפיפות הספק הולכה ($$[p] = \frac{\text{Watt}}{m^3} $$):

$$\vec p = \vec E \cdot \vec J $$

משפט פוינטינג בצורה האינטגרלית:
$$\underset{V}{\iiint} - \nabla \cdot (E \times H) dV = - \underset{S=\partial V}{\oiint} (E \times H) \hat n ds $$נציב:

$$- \underbrace{\oiint \vec S \cdot \hat n ds}_{\text{total flux going out from the poynting vector}} = \frac{\partial}{\partial t} \underbrace{\iiint [\epsilon_0/2 |E|^2 + \mu_0/2 |H|^2] {dV}}_{\text{all the stored energy}} + \underbrace{\iiint \vec E \cdot \vec J dV}_{\text{all the power}} $$

חוקי שימור - משפט פוינטינג - הספק הולכה
אם ניתן לחלק את הזרם בבעיה ל 2 תרומות:

$$\vec J = \vec J_{\text{source}} + \vec J_{\text{transport in material}} $$$$\vec E \cdot \vec J = \vec E \cdot (\vec J_{\text{source}} + \vec J_{\text{transport}}) = \vec E \cdot \vec J_{\text{source}} + \vec E \cdot \sigma \vec E = \underbrace{\vec E \cdot \vec J_{\text{source}} }_{\text{can be energy source or sink}} + \underbrace{\sigma |E|^2}_{>0} $$

דוגמא - אנרגיה חשמלית אגורה בקבל לוחות
$$E = - \frac{V}{d} \hat z $$$$u_E = \iiint \epsilon_0 |E|^2 dV = \epsilon_0/2 (\frac{V}{d})^2 \cdot W \cdot l \cdot d $$מצד שני:

$$u_E = 1/2 cV^2 $$ולכן:

$$C = \epsilon_0 \frac{W \cdot l}{d} $$

דוגמא - אנרגיה חשמלית אגורה בסליל מלבני
בתוך הסליל:

$$\vec H = H \hat z $$מתנאי שפה מתקבל:

$$\hat n \times (0 - H \hat z) = \vec K $$אם עבר דרך הסליל זרם I, אז מתקיים:

$$I = K \cdot W $$לכן:

$$H = \frac{I}{W} \hat z \Rightarrow u_M = \iiint \mu_0/2 (\frac{I}{W})^2 dV = \mu_0/2 (\frac{I}{W})^2 \cdot W \cdot l \cdot d $$מצד שני:

$$u_M = 1/2 L I^2 $$לבסוף:

$$L = \mu_0 \frac{l\cdot d}{W} $$

דוגמא - נגד גלילי
בכל התחום בין הלוחות:

$$\vec E = \frac{J_0}{\sigma} \hat z $$ולכן, מחוק אמפר השד המגנטי הינו:

$$\vec H = \hat \varphi \cdot \begin{cases} \frac{J_0 r}{2}, & ra \end{cases} $$נחשב את וקטור פוינטינג:

$$\vec S = \vec E \times \vec H = - \hat r \cdot \begin{cases} \frac{J_0^2 r}{2\sigma}, & ra\end{cases} $$צפיפות הספק ההולכה תהיה:

$$\vec E \cdot \vec J = \begin{cases} \frac{J_0^2}{\sigma}, & ra \end{cases} $$נראה שאכן משפט פוינטינג מתקיים:

$$-\nabla \cdot \vec S= \underbrace{\frac{\partial }{\partial t}(\epsilon_0/2 |E|^2 + \mu_0/2 |H|^2)}_{=0} + \vec E \cdot \vec J $$$$\Rightarrow -\nabla \cdot \vec S = - \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r S_r) = -\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (\begin{cases} -\frac{J_0^2 r^2}{2\sigma}, & ra \end{cases}) = \frac{1}{r} \cdot \begin{cases} \frac{J_0^2 r}{\sigma} , & ra \end{cases} $$בין הלוחות בתוך הנגד:

$$- \nabla \cdot \vec S = \frac{J_0^2}{\sigma} = \vec E \cdot \vec J = \frac{J_0^2}{\sigma} $$ואכן, משפט פוינטינג מתקיים!

דוגמא תלויה בזמן - גל מישורי
$$\vec E = \hat e E_0 cos(k \cdot r - \omega t) $$$$\vec H = \hat h \frac{E_0}{\eta} cos(k \cdot r - \omega t) $$$$\vec S = \vec E \times \vec H = \underbrace{\hat e \times \hat h}_{\hat k} \frac{E_0^2}{\eta} cos^2(k\cdot r - wt) = \hat k \cdot \frac{E_0^2}{\eta} cos^2(k\cdot r - wt) $$$$-\nabla \cdot \vec S = \hat k \cdot \hat k  \frac{E_0^2}{\eta} 2 \cos(k\cdot r - wt) \sin(k\cdot r - wt) =

\frac{k}{\eta} E_0^2 \cdot \sin(2(k\cdot r - wt)) $$מכיוון שגל מישורי הוא פיתרון בתווך חסר מקורות:

$$\vec p = \vec E \cdot \vec J = 0 $$צפיפויות האנרגיה יהיו:

$$u_E = \epsilon_0/2 |E|^2 = \epsilon_0/2 |E_0|^2 \cos^2(k\cdot r - wt) $$$$u_M = \mu_0/2 |H|^2 = \epsilon_0/2 |\frac{E_0}{\eta}|^2 \cos^2(k\cdot r  - wt) $$האם מתקיים משפט פוינטינג?

$$-\nabla \cdot S = \frac{\partial}{\partial t} (u_E+u_M) = E_0^2 (\epsilon_0/2 + \mu_0/2 \frac{1}{\eta^2}) \frac{\partial}{\partial t} \cos^2(k\cdot r - wt) = E_0^2 (\epsilon_0/2 + \mu_0/2 (\frac{1}{\sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}})^2) \cdot 2 \cos(k\cdot r - wt) \sin(k \cdot r - wt) \cdot (-1) \cdot (-\omega) = \omega \epsilon_0 $$התוצאה המקורית הייתה $$\frac{k}{\eta} $$.

האם אכן מתקיים:

$$\frac{k}{\eta} = \omega \epsilon_0 $$

אכן כן!

מיצוע בזמן
הרבה פעמים יעניין אותנו מאזן האנרגיה הממוצע על פני מחזור שלם של הגדלים המחזוריים (שדות, מקורות,...)

$$T=\frac{2\pi}{\omega} $$כל גודל פיזיקלי F ניתן למצע על פני מחזור, על ידי הביטוי הבא:

$$F_a = \frac{1}{T} \int_t^{t+T} F(t) dt $$

וקטור פוינטינג ממוצע, אנרגיה ממוצעת, הספק ממוצע
רישום פאזורי לשדות:

$$\vec E = \Re(\tilde E e^{j \omega t}) = 1/2 (\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E^* e^{- j\omega t}) $$$$\vec H = \Re(\tilde H e^{j \omega t}) = 1/2 (\tilde H e^{j\omega t} + \tilde H^* e^{- j\omega t}) $$

משפט פוינטינג לשדות קומפלקסיים
נציב את הביטויים הקומפלקסיים לשדה המגנטי והחשמלי במשוואת פוינטינג:

$$\vec S = \vec E \times \vec H = 1/4 (\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E^* e^{- j\omega t}) (\tilde H e^{j\omega t} + \tilde H^* e^{- j\omega t}) = 1/4(\tilde E^* \times \tilde H + \tilde E \times \tilde H + \tilde E \times \tilde H e^{2j\omega t} + \tilde E^* \times \tilde H^* e^{-2j\omega t}) = 1/2 \Re(\tilde E \times \tilde H^* + \tilde E \times \tilde H e^{2j\omega t}) $$זרימת הספק ממוצעת:

$$\vec S_a = 1/2 \Re(\tilde E \times \tilde H^*) $$נחשב את האנרגיה החשמלית:

$$u_E = \epsilon_0 /2 \vec E \cdot \vec E = \epsilon_0 /2 \cdot 1/2 ((\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E^* e^{- j\omega t}))\cdot 1/2 (\tilde H e^{j\omega t} + \tilde H^* e^{- j\omega t}) = 1/4 \cdot \epsilon_0/2 (2 |E|^2 + \tilde E \cdot \tilde E e^{2j\omega t} + \tilde E^* \tilde E^* e^{-2j\omega t})  $$ובאותה דרך האנרגיה המגנטית תהיה:

$$u_M = 1/4 \cdot \mu_0/2 (2 |H|^2 + \tilde H \cdot \tilde H e^{2j\omega t} + \tilde H^* \tilde H^* e^{-2j\omega t})  $$נגזרות בזמן את השדה החשמלי:

$$\frac{\partial u_E}{\partial t} = 2j\omega (\tilde E \cdot \tilde E e^{2j\omega t}) - 2j\omega (\tilde E^* \cdot \tilde E^* e^{-2j\omega t}) \underbrace{=}_{\text{averaging in time}} 0 $$ואת אותה התוצאה נקבל עבור השדה המגנטי.

נחשב את ההספק שמושקע בהנעת זרמים במערכת:

$$\vec E \cdot \vec J = 1/2 (\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E ^* e^{-j\omega t}) \cdot 1/2 (\tilde J e^{j\omega t} + \tilde J ^* e^{-j\omega t}) = 1/4 (2 \Re(\tilde E \cdot \tilde J^*) + 2\Re(\tilde E \cdot \tilde J e^{2j\omega t})) $$$$\Rightarrow p_a = 1/2 \Re(\tilde E \cdot \tilde J^*)  $$משפט פוינטינג לאחר מיצוע בזמן:

$$-\nabla 1/2 \Re(\tilde E \times \tilde H^*) = 1/2 \Re(\tilde E \times \tilde J^*) $$

משפט פוינטינג עבור הפאזורים של השדות - פיתוח
וקטור פוינטינג הממוצע:

$$\vec S_a = 1/2 /Re (\tilde E \times \tilde H^*) $$נשתמש בחוק אמפר (בצורה הפאזורית):

$$\nabla \times \tilde H = \tilde J + \epsilon_0 \cdot j \omega \tilde E  $$ונחשב בעזרתו את צפיפות הספק ההולכה:

$$\vec p_a = \tilde E \cdot \tilde J^* = \tilde E (\nabla \times \tilde H^* + j \omega \epsilon_0 \tilde E ^*)

=

\tilde E \cdot (\nabla \times \tilde H^*) + j\omega \epsilon_0 |\tilde E |^2 = j\omega \epsilon_0 |\tilde E |^2 + \tilde H^* \cdot (\nabla \times \tilde {E}) - \nabla \cdot (\tilde E \times \tilde H ^*) $$נעביר אגפים ונקבל:

$$-\nabla \cdot (\tilde E \times \tilde H^*) = \tilde E \cdot \tilde J^* - j\omega (\mu_0 |\tilde H|^2 - \epsilon_0|\tilde E|^2) $$נפריד לחלק ממשי ומדומה:

$$\text{Real: } \Re (-\nabla \cdot (\tilde E \times \tilde H^*)) = \Re(\tilde E \cdot \tilde J^*) $$$$\text{Imaginary: } \Im (-\nabla \cdot (\tilde E \times \tilde H^*)) = \Im (\tilde E \cdot \tilde J^*) - \omega (\mu_0 |\tilde H|^2| - \epsilon_0 |\tilde E|^2)  $$חלק ממשי - מתאר את זרימת ההספק הממשי בבעיה, הספק שמושקע בביצוע עבודה.

חלק מדומה - מאזן של אנרגיה ריאקטיבית.

דוגמא נוספת תלויה בזמן - קבל בקירוב קוואזי - סטטי
$$\vec E ^{(0)} = -\frac{V_0}{d} \cos(\omega t) \hat z $$$$\vec H^{(1)} = \frac{\epsilon_0 V_0}{d} \omega \sin(\omega t) \hat y \cdot (x- W/2)  $$משפט פוינטינג בצורה האינטגרלית:

$$-\oiint \vec S \cdot \hat n dS = \frac{\partial}{\partial t} (U_E+U_M) + P_{\text{transmission}} $$$$\vec S = \vec E^{(0)} \times \vec H^{(1)} = -\epsilon_0 (\frac{V_0}{d})^2 \cos(\omega t) \hat z \times \omega \sin(\omega t) \cdot (x-W/2) \hat y = -\hat x \epsilon_0 \frac{V_0}{d} (x-W/2) \omega \underbrace{\sin(\omega t) \cos(\omega t)}_{=\frac{sin(2\omega t)}{2}} $$$$-\oiint \vec S \cdot \hat n dS = -[\vec S(x=0)\cdot (-\hat x)\cdot dL + \vec S(x=W)\cdot \hat x \cdot dL]= -[\epsilon_0 (\frac{V_0}{d})^2 \frac{-W}{4} \omega \sin(2\omega t) \cdot dL\cdot 2]= -\epsilon_0 (\frac{V_0}{d})^2 \frac{W}{2} \omega \sin(2\omega t)\cdot dL $$$$U_E= \iiint u_E = (\frac{V_0}{d} \cos(\omega t))^2 \frac{\epsilon_0}{2}\cdot d\cdot L\cdot W  $$$$\frac{\partial U_E}{\partial t} = \frac{\epsilon_0}{2} (\frac{V_0}{d})^2 \cdot d \cdot L \cdot W \cdot \underbrace{2 \cos(\omega t) \sin(\omega t)}_{=\sin(2\omega t)} \cdot( -1) $$מהו וקטור פוינטינג הממוצע?

$$\vec S_a= \frac{1}{T} \int_t^{t+T} \vec S dt \propto \frac{1}{T} \int_t^{t+T} \sin(2\omega t) dt = 0 $$מה בכל זאת האנרגיה המגנטית?

$$U_M = \iiint \mu_0/2 |H^{(1)}|^2 dV =\underset{x=W}{\iiint} \mu_0/2 (\frac{\epsilon_0 V_0}{d} \cdot \omega \sin(\omega t) (x-W/2))^2 dV = dL \int_{x=0}^{x=W} \mu_0/2 (\frac{\epsilon_0 V_0}{d})^2 \omega^2 \sin^2(\omega t) \cdot (x-W/2)^2 dx =... $$$$...= dL \cdot \mu_0/2 (\frac{\epsilon_0 V_0}{d})^2 \omega ^2 \sin^2(\omega t) \frac{(x-W/2)^3}{3}|^W_0 = 2 dL \cdot \mu_0/2 (\frac{\epsilon_0 V_0}{2})^2 \omega^2 \sin^2(\omega t) \frac{W^3}{24} \cdot 2 $$בפיתרון הקוואזי סטטי:

$$I = \frac{\epsilon_0 V_0}{d} \omega \sin(\omega t) \cdot W \cdot L $$ומצד שני:$$U_M = \frac{1}{2} \underbrace{L}_{\text{inductance}} I^2 $$

ולכן:

$$L = \frac{\mu_0 d W}{12 L} $$