User:Ronelm/sandbox6

בהרצאות הקודמות ראינו את החשיבות של פתרון הבעיה הסטטית כבסיס לכל בעית EQS.

הגדרת הבעיה
את הפיתרון הפרטי למשוואת פואסון אנחנו כבר יודעים לחשב.

ולכן, כעת נשים דגש על פיתרון של משוואת לפלאס:

$$\nabla ^2 \phi=0$$כלומר, ניתן לפתור בתחום שבו אין מטען ρ, או שנפתור פתרון פרטי והומוגני בנפרד.

משוואת לפלאס - תכונות הפתרון
עקרון המינמום / מקסימום: לפתרונות משוואת לפלאס אין נקודות קיצון מקומיות בתוך התחום.

אינטואיטיבית: אם קיים למשל מינימום, אז השדה בכל מקום מכוון אל המינימום.

במקרה כזה, חוק גאוס הוא:

$$\iint \vec E \cdot \hat n dS = Q_{in}$$ולכן יש מטען בנקודה, אבל $$\phi$$ מקיים את משוואת לפלאס, כלומר הפוטנציאל הוא ללא מטענים בתחום! ולכן, לא יתכן שיש קיצון מקומי! (הטיעון תקף גם לנקודת מקסימום).

הערה: אם בכל זאת נרצה נימוק יותר ריגורוזי:

בנק' קיצון מקומית $$\nabla \phi = 0$$. כדי שזה אכן יהיה קיצון, נרשום את מטריצת ההסיאן:

$$\bar{\bar{H}} = \begin{pmatrix} \phi_{xx} & \phi_{xy} & \phi_{xz} \\ \phi_{yx} & \phi_{yy} & \phi_{yz}\\ \phi_{zx} & \phi_{zy} & \phi_{zz} \end{pmatrix}$$ולהאסיאן זה צריכים להיות ערכים עצמיים שהם כולם חיוביים (נקודת מינימום) או כולם שליליים (נקודת מקסימום):

$$\sum_i \lambda_i = tr({\bar{\bar{H}}}) = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y}+ \frac{\partial^2 \phi}{\partial z} \underbrace{=}_{\text{Laplace}}0$$ולכן לא יכולות להיות נקודות קיצון.

מכאן נובע ש $$\phi$$ מקבלת את ערכי הקיצון על השפה. ולכן אם $$\phi$$ קבועה על השפה, אז היא חייבת להיות קבועה בכל התחום ומכך נבין כי השדה בתוך התחום יהיה אפס.

יחידות הפתרון
נניח בשלילה שיש 2 פתרונות לבעיה $$\phi_1$$, $$\phi_2$$. נגדיר:

$$\phi_3 \equiv \phi_2-\phi_1$$ולכן:

$$\nabla^2 \phi_3 = \nabla^2\phi_2 - \nabla^2\phi_1 = -\frac{\rho}{\epsilon_0} - (-\frac{\rho}{\epsilon_0})=0$$מה לגבי תנאי שפה?

$$\begin{cases} \phi_3(r_{B,1}) = \phi_2(r_{B,2}) - \phi_1(r_{B,1}) = \phi_B-\phi_B=0 \\ \frac{\partial \phi_3}{\partial n}|_{r_{B,2}} = ... = 0 \end{cases}$$המטרה: להראות ש $$\vec E_3 = -\nabla \phi_3=0$$, ומכאן ינבע ש $$\vec E_1 = \vec E_2$$.

אם נצליח להראות שהאנרגיה שווה ל:

$$u_E = \iiint_D \epsilon_0/2 |\vec E_3|^2 dV$$האגורה ב $$\vec E_3$$ מתאפסת ← $$\vec E_3$$ הוא אפס זהותית בכל התחום.

נרצה לקש את הביטוי ל $$u_E$$ ל $$\phi_3$$ או $$\vec E_3$$ על השפה, כי אלו הנתונים שלנו.

נשתמש בזהות הוקטורית:$$\nabla \cdot (\psi \vec F) = \psi(\nabla \cdot \vec F) + \nabla \psi \vec F$$ונקבל:

$$\nabla \cdot (\phi_3 \vec E_3) = \underbrace{\phi_3 (\nabla \cdot \vec E_3)}_{=\frac{\rho_3}{\epsilon_0}=0} +\underbrace{ \underbrace{\vec \nabla \phi_3}_{-\vec E_3} \cdot \vec E_3}_{-|\vec E_3|^2}$$$$\iiint_D \epsilon_0/2 |\vec E_3|^2 = \iiint_D \epsilon_0/2 (-\nabla \cdot (\phi_3 \cdot \vec E_3 ))dV = -\epsilon_0/2 \iint_{S=\partial D} \phi_3 \vec E_3 \cdot \hat n dS$$בנקודה $$r_{B,1}$$ מתקיים $$\phi_3=0$$

בנקודה $$r_{B,2}$$ מתקיים $$\vec E_3 \cdot \hat n=0$$

ולכן האינטגרטור מתאפס בכל מקום על השפה:

$$\Rightarrow \int \epsilon_0/2 |E_3|^2 dV=0 \Rightarrow \vec E_3 |_{\text{in all D}}=0$$בעזרת זהות זו ניתן גם לקשור את האנרגיה האגורה לפוטנציאל ולפילוג המטען אם הוא ידוע.

נניח D אינסופי, ואנו יודעים את פילוג המטען בכל מקום, והוא מוגבל לאזור סופי במרחב:

$$\iiint_{\text{All space}} \epsilon_0/2 |E|^2 = \epsilon_0/2 \iiint \phi \underbrace{(\nabla\cdot \vec E)}_{\frac{\rho}{\epsilon_0}} - \iiint \nabla\cdot(\phi_3 \vec E_3)$$ממשפט הדיברגנץ נקבל:

$$\iiint \epsilon_0/2 |E|^2 dV = \epsilon_0/2 \iiint \phi \frac{\rho}{\epsilon_0} - \underbrace{\iiint_{\partial r} \phi_3 \vec E_3 dr}_{\rightarrow 0 \text{ as } V\rightarrow\infty}$$ולכן:

$$\iiint \epsilon_0/2 |E|^2 dV = 1/2 \iiint \rho dV \iiint \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot \frac{\rho}{|r-r'|} dV'$$$$u_E = 1/2 \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iint \frac{\rho(r)\rho(r')}{|r-r'|} dV dV'$$

משפט הערך הממוצע
$$\phi(r) =\frac{1}{4\pi a^2} \iint_{\text{sphere}} \phi(r') dS'$$נוכיח:

$$\phi(r') = \underbrace{\phi(r)}_{\phi_\text{ in the center}} + \underbrace{\int - \vec E(r) dr^{} \hat r}_{\phi_{\text{boundry }}}$$$$\frac{1}{4\pi a^2} \iint_{\text{sphere}} \phi(r') dS' = \frac{1}{4\pi a^2} \iint(\phi(r) + \int -\vec E \cdot dr'' \hat r) dS'=... $$$$...= \frac{1}{4\pi a^2} [\phi(r) r\pi a^2 - \int dr'' \underbrace{\iint_{\text{Sphere}} \vec E(e) \cdot \hat r dS''}_ {=0 \text{ propotional to the flux of the field}} ] = \phi(r)$$

ייצוג נומרי מקורב למשוואת לפלאס
$$\phi_{xx} + \phi_{yy} + \phi_{zz}=0$$$$\begin{cases} \phi(x+\triangle x,y,z)=\phi(x,y,z)+ \triangle x \cdot \frac{\partial \phi}{\partial x}+ \triangle x ^2 1/2 (\frac{\partial \phi}{\partial x})^2 +... \\ \phi(x-\triangle x,y,z)=\phi(x,y,z)- \triangle x \cdot \frac{\partial \phi}{\partial x}+ \triangle x ^2 1/2 (\frac{\partial \phi}{\partial x})^2 +... \\ \phi(x,y+\triangle y,z)=\phi(x,y,z)+ \triangle y \cdot \frac{\partial \phi}{\partial y}+ \triangle y ^2 1/2 (\frac{\partial \phi}{\partial y})^2+...\\ y-\triangle y... \\ z+\triangle z... \\ z-\triangle z ... \end{cases}$$נניח ש: $$\triangle x = \triangle y = \triangle z \equiv \triangle$$

בנוסף נניח ש $$\triangle$$ הוא ממש קטן, כך שקירוב סדר שני הוא מספיק.

נסכם:

$$\phi(x+\triangle) + \phi(x-\triangle) + \phi(y+\triangle) + \phi(y-\triangle) + \phi(z+\triangle)+\phi(z-\triangle) = 6 \phi(x,y,z) + \triangle^2 \underbrace{(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2})}_{=0}$$נחלק ב - 6 ונקבל:

$$\phi(x,y,z) = 1/6 [\phi(x+\triangle) + \phi(x-\triangle) + \phi(y+\triangle) + \phi(y-\triangle) + \phi(z+\triangle)+\phi(z-\triangle)]$$כלומר, $$\phi$$ בנקודה x,y,z שווה לממוצע של הערכים בנקודת הסריג שמקיפות את הנקודה.

פתרון בהפרדת משתנים
טכניקת פתרון כאשר פותרים לפלס בתחום ספרבילי - תחום שאת כל השפות שלו ניתן לתאר כמשטחים שווי קורדינטה.

קורדינטות קרטזיות
משוואת לפלאס בקורדינטות אלו:$$\phi_{xx} + \phi_{yy}+\phi_{zz}=0$$פתרון בהפרדת משתנים:

$$\Phi = X(x) Y(y) Z(z)$$נציב בלפלאס: $$XXYZ+XYZ+XYZ''=0$$נחלק ב XYZ, ונקבל:

$$\underbrace{\frac{X''}{X}}_{=-k_x^2 \text{ depends only on x}} + \underbrace{\frac{Y''}{Y}}_{=-k_y^2 \text{ depends only on y}} + \underbrace{\frac{Z''}{Z}}_{=-k_z^2 \text{ depends only on z}} =0$$$$\Rightarrow k_x^2 + k_y^2 + k_z^2=0$$מכאן, כל אחד משלושת המחברים חייב להיות פונקציה קבועה שאינה תלויה בקורדינטות.

הבעיה "מופרדת" ל-3 משוואות דיפרנציאליות רגילות:

$$(1) \frac{X''}{X}=-k_x^2,\text{ } (2) \frac{Y''}{Y}=-k_y^2 \text{ } (3) \frac{Z''}{Z}=-k_z^2$$


 * הפיתרון הטריוויאלי:

$$k_x=k_y=k_z=0 \Rightarrow X=0,Y=0,Z''=0$$$$\Rightarrow \phi = (Ax+B)(Cy+D)(Ez+F)$$


 * במקרה הכללי:

$$\frac{X}{X}=-k_x^2 \Rightarrow X+k_x^2 X=0$$נחלק לשני מקרים: כאשר $$k_x \equiv i \tilde k_x$$.

באופן כללי, תמיד ניתן לרשום:

$$\phi = (A\cos(k_x x)+B\sin(k_x x))\cdot (C\cos(k_y y)+D\sin(k_y y)) \cdot (E\cos(k_z z)+F\sin(k_z z))$$מכיוון ש $$k_x^2+k_y^2+k_z^2=0$$, חלקם צריכים להיות מדומים.

אופציה נוספת: לכתוב חלק מהפתקונות כפונקציות טריגונומטריות וחלק כאקספוננציאליות, כך ש:

$$\underbrace{\sum_i k_i}_{\text{Trigonometric}} = \underbrace{\sum_i \tilde k_i}_{\text{Exponential}}$$

קורדינטות קרטזיות - דוגמא 1

 * הפוטנציאל בין לוחות הקבל מקיים $$\nabla^2\phi = 0$$
 * התחום ספירבילי
 * תנאי שפה: $$\phi(z=0)=0,\phi(z=d)=V$$

מאחר וערך הפוטנציאל קבוע על משטחים שווי z:

$$\phi=(Ez+F)\cdot (Ax+B)\cdot (Cy+D)$$נציב תנאי שפה:

$$\phi(z=0)=F=0,\phi(z=d)=Ed= V $$$$\Rightarrow \phi=\frac{V}{d}\cdot z \Rightarrow\vec E = -\nabla \phi =-\frac{V}{d} \hat z$$

קורדינטות קרטזיות - דוגמא 2

 * מה הפוטנציאל בתוך התחום
 * המבנה אינסופי בכיוון z ← $$k_z=0$$.

הפוטנציאל פותר את משוואת לפלאס בתחום:

$$\begin{cases} \text{No charge: } \nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}=0 \\ \text{Static problem: } \nabla \times \vec E = \mu_0 \frac{\partial H}{\partial t}=0 \Rightarrow \vec E = -\nabla \phi \end{cases}$$תנאי שפה:

$$\begin{cases} \phi(x=0)=\phi(x=d)=0 \\ \phi(y=0)=0 \\ \phi(y=a)=V(x) \end{cases}$$$$k_x^2+k_y^2=0\Rightarrow
 * k_x|=|k_y|\equiv k$$ולכן נכתוב את הפיתרון כך:

$$\phi = (A\sin(k x) + B\cos(k x))\cdot (C\sinh(k y) + D\cosh(k y))$$נציב בתנאי שפה:

$$\begin{cases} \phi(x=0)=B\cdot f(y)=0 \Rightarrow B=0 \\ \phi(x=d)=A\sin(k d)\cdot f(y)=0 \Rightarrow \sin(kd)=0\Rightarrow k=\frac{\pi n}{d}, n\in\N\\ \phi(y=0)=g(x)\cdot D=0 \Rightarrow D=0 \end{cases}$$עד כה, את הפיתרון ניתן לייצג באופן הבא:

$$\phi = \sum_n \tilde A_n \sin(\frac{\pi n}{d}x) \underbrace{\sinh(\frac{\pi n a}{d})}_{\text{Constant}} =V(x) $$ניתן לכתוב לפיכך:

$$\phi = \sum_n \tilde B_n \sin(\frac{\pi n}{d} x), \tilde B_n\equiv \tilde A_n \sinh(\frac{\pi n a}{d})$$הערות:


 * 1) הטור הוא מייצג של פיתוח של פונקציות מחזוריות. נשאלת השאלה - אז איזו פונקציה אנחנו מפתחים לטור?
 * 2) מה המחזור של הפונקציה שמיוצגת על ידי הטור הנתון?

המחזור הכי גדול הוא של האיבר הראשון $$\sin(\frac{\pi x}{d})$$, שהמחזור שלו הוא 2d. נסיק כי המחזור של הפונקציה הוא 2d.

לפונקציה המחזורית המלאה נקרא $$\tilde V(x)$$.

בתחום $$0<x<d$$ מתקיים: $$\tilde V(x) = V(x)$$.

עכשיו רק נותר למצוא את המקדמים בפיתוח של $$\tilde V(x)$$ לטור הסינוסים:

$$\tilde V(x) = \sum_n B_n \sin(\frac{\pi n}{d} x) \text{ (*)}$$נשתמש בפונקציה $$V(x)=V_0$$:

נכפול את הביטוי (*) ב $$\int_{-d}^d \sin(\frac{\pi}{d} mx) dx$$:

$$\int_{-d}^d \sum_n \tilde B_n \sin(\frac{\pi}{d} nx) \sin(\frac{\pi}{d}mx) dx= \int_{-d}^d \sin(\frac{\pi}{d} mx) \cdot \tilde V(x) dx$$מאורתוגונליות:

$$\tilde B_m \int_{-d}^d \sin^2(mx) \cdot \frac{\pi}{d} dx = 2\int^d_0 V_0 \sin(\frac{\pi}{d} mx) dx$$נקבל:

$$\tilde B_m \cdot d = 2\int_0^d V_0 \sin(mx \cdot \frac{\pi}{d}) dx$$$$\Rightarrow \tilde B_m = \frac{4 V_0 d}{\pi m} \cdot \begin{cases} 0, & \text{if }m\text{ is even} \\ 1, & \text{if }m\text{ is odd} \end{cases}$$$$\Rightarrow \phi = \sum_n \frac{8V_0}{(2n-1)\pi} \cdot \frac{1}{\sinh(\frac{\pi a}{d}\cdot (2n-1))}\cdot \sin(\frac{(2n-1)\cdot \pi x}{d})\cdot \sinh(\frac{(2n-1)\pi}{d}y)$$$$\Rightarrow \vec E = -\nabla \phi = \sum_n \frac{-8V_0}{d \sinh(\frac{(2n-1)\pi a}{d})}[ \cos(\frac{(2n-1)\pi x}{d} )\cdot \sinh(\frac{(2n-1)\pi y}{d}) \hat x + \sin(\frac{(2n-1)\pi x}{d} )\cdot \cosh(\frac{(2n-1)\pi y}{d}) \hat y ]$$

מה הקיבול?

כדי לחשב את הקיבול, נחשב את סף המטען על האלקטרודה $$V(x)$$.

$$\eta = \hat y \cdot (\epsilon_0 \vec E_{up} - \epsilon_0 \vec E_{down})= -2\hat y \cdot \epsilon_0 \cdot \vec E_{down}|_{\text{middle board}}= -2 \epsilon_0 (-\frac{\partial \phi}{\partial y})|_{y=a} = ...$$$$...= \sum_n \frac{-8 V_0 \epsilon_0}{d} \cdot (-2) \cdot \coth(\frac{(2n-1)\pi a}{d}) \cdot \sin(\frac{(2n-1)\pi x}{d})$$

נחשב את סך המטען:

$$Q = \int^d_0 \eta dx = \sum_n \frac{32 V_0 \epsilon_0}{2n-1} \coth(\frac{(2n-1)\pi a}{d})$$אך זה מתבדר בגלל אי הרציפות של הפוטנציאל.

בבעיה אמיתית ניתן להניח שהשינוי של הפוטנציאל ב - δ (איור XXX) הוא לינארי.