User:Ronelm/sandbox7

בשבוע הקודם ראינו קיצר ניתן לפתור את משוואת לפלאס באמצעות הפרדת משתנים בקורדינטות קרטזיות.

בשבוע הזה נראה כיצד נוכל לפתור את בעית לפלאס למערכת עם סימטרה גלילית.

פתרון בהפרדת משתנים - קורדינטות גליליות
בקורדינטות גליליות, משוואת לפלס היא:

$$\nabla^{2} \phi=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial \phi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} \phi}{\partial \varphi^{2}}+\frac{\partial^{2} \phi}{\partial z^{2}}=0$$נציב פתרון בהפרדת משתנים מהצורה:

$$\phi = R(r)F(\varphi)Z(z)$$נציב ונקבל:

$$\nabla^2\phi = F\cdot Z\cdot \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(rR')+ \frac{1}{r^2}F RZ+FRZ=0$$נחלק ב FRZ:

$$\frac{1}{Rr} \cdot \frac{\partial}{\partial r} (r R') + \frac{1}{r^2}\cdot \frac{F}{F} = - \underbrace{\frac{Z}{Z}} _{\equiv k_z^2} = k_z^2$$נכפול ב $$r^2$$:

$$\underbrace{\frac{r}{R} \cdot \frac{\partial}{\partial r} (rR')}_{\text{depends only on r} - k_z^2 r^2} + \underbrace{\frac{F''}{F}}_{\text{depends onlt on }\varphi} = 0$$נגדיר:

$$\frac{F''}{F} \equiv -\nu^2$$ולכן נקבל:

$$\frac{1}{r} \cdot \frac{\partial}{\partial r}(rR') - (\frac{\nu^2}{r^2} + k_z^2)R = 0$$בסך הכל יש שני קבועי הפרדה בלתי תלויים: $$\nu,k_z$$.

הפיתרון הטריוויאלי $$\nu=0,k_z=0$$:

$$\begin{cases} F''=0 \Rightarrow F=A\varphi +B \\ Z''=0 \Rightarrow Z=Cz+D\\ \end{cases}$$$$\Rightarrow \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial}{\partial r} (rR')= 0\Rightarrow rR' = E \Rightarrow R'=\frac{E}{r} \Rightarrow R = E \ln(r)+F $$פתרון כללי $$\nu \neq 0,k_z=0 $$:

$$\frac{F}{F}=-\nu^2 \Rightarrow F+\nu^2 F=0 $$אם $$\nu^2>0 $$:

$$F(\varphi) = A\cos(\nu \varphi) + B \sin(\nu \varphi) $$אם נציב חזרה במשוואה של r:

$$r^2 R''+rR'-\nu^2 R=0 \Rightarrow R=E r^\nu + F r^{-\nu} $$אם $$\nu^2<0 $$:

$$\nu = i \tilde \nu $$$$F'' - \tilde \nu^2 F = 0 \Rightarrow F = A \sinh(\tilde \nu \varphi) + B \cosh(\tilde \nu \varphi) $$נציב במשוואה ל- R:

$$R=\tilde E \cos(\tilde \nu \ln(r))+ \tilde F \sin(\tilde \nu \ln(r)) $$

סיכום קצר
בכל הפתרונות $$k_z=0 $$ התלות בכיוון z היא טריוויאלית.

דוגמא 1
יש לחשב את $$\phi $$ בין הלוחות הללו.

תנאי שפה: $$\phi(\varphi=0)=0,\phi(\varphi=\alpha)=V_0 $$

הבעיה מתאימה לפיתרון טריויאלי:

$$\phi = (A\varphi + B)\cdot (C+\underbrace{D \ln (r)}_{=0})\cdot (\underbrace{E z}_{=0} + F)= A\varphi + B $$נציב תנאי שפה:

$$\phi(\varphi=0)=B=0,\phi(\varphi=\alpha)=A\cdot \alpha =V_0 \Rightarrow A=\frac{V_0}{\alpha} $$לכן:

$$\phi = \frac{V_0}{\alpha}\cdot \varphi $$$$\vec E = -\nabla \phi = -\frac{V_0}{\alpha r} \hat \varphi $$

דוגמא 2
תיל אינסופי טעון בצפיפות אחידה.

נבחר גם כאן בפתרון הטריוויאלי:

$$\phi = (\underbrace{A\varphi}_{=0} + B)\cdot (\underbrace{Cz}_{=0}+D) \cdot (E+F\ln(r))= E+F\ln(r) $$נבחר ייחוס לפוטנציאל ב- $$r=R_0 $$:

$$\phi= C_1 \ln(\frac{r}{R_0}) $$$$\vec E = -\nabla \phi = -\frac{C_2}{r} \hat r \underbrace{=}_{\text{Gauss's theorem}} \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \cdot \frac{1}{r} \hat r $$

דוגמא 3
גליל PEC, אינסופי בכיוון z.

צריך לחשב את השדה החשמלי בכל נקודה מחוץ לגליל.

מחוץ לגליל:$$\nabla^2\phi=0$$$$\begin{cases} \vec E(r\gg a) = E_0 \hat x \\ \phi(r=a)=C \end{cases}$$$$\Rightarrow \begin{cases} \phi(r\gg a) = -E_0 x = -E_0 r \cos \varphi \text{ (1)}\\ \phi(r=a)=0 \text{ (2)}\end{cases}$$הפיתרון הכללי:

$$\phi = (A r^\nu +B r^{-\nu})\cdot (C \sin(\nu \varphi)+D\cos(\nu\varphi))$$בבעיה שאנו פותרים בכל התחום $$\varphi \in [0,2\pi]$$:

$$\nu=n\in \N $$מתנאי שפה (2) נבחר $$\nu=n=1$$:

$$\phi= (Ar+\frac{B}{r})\cdot (C \sin\varphi + D \cos\varphi)$$מ (2):$$\phi(r=a)=0=(Aa+\frac{B}{a})\cdot (C\sin\varphi + D \cos\varphi) \Rightarrow Aa+\frac{B}{a}=0 \Rightarrow B=-Aa^2 $$ מ (1): $$\phi(r\gg a) \approx Ar\cdot (C\sin\varphi+D\cos\varphi )=-E_0r \cos\varphi$$$$\Rightarrow C=0,A\cdot D =-E_0 \Rightarrow B\cdot D = a^2 \cdot A \cdot D$$$$\Rightarrow \phi = (-E_0 r+\frac{E_0 a^2}{r}) \cos \varphi = \underbrace{-E_0 r \cos \varphi}_{\text{Potential}} + \underbrace{\frac{E_0 a^2}{r}\cos\varphi}_{\text{Reaction}} $$$$\vec E = -\nabla \phi = E_0 \hat x = -\frac{a^2}{r^2}\cdot (-\cos\varphi \hat r - \sin\varphi \hat \varphi)\cdot E_0$$מה פילוג המטענים על שפת הגליל? $$\eta = \hat r \cdot (\epsilon_0 E - \epsilon_0 E_{\text{inside}})|_{r=a} =...=\epsilon_0 E_0 \cos\varphi $$

דוגמא 4
המבנה אינסופי בכיוון $$\hat z$$.

בתוך הגזרה הפוטנציאל מקיים $$\nabla^2\phi = 0$$.


 * בעיה סטטית
 * אין מטענים חופשיים

תנאי השפה:

$$\phi(\varphi=0)=0,\phi(\varphi=\alpha)=0,\phi(r=a)=V(\varphi), \varphi\in[0,\alpha]$$הפיתרון הטריוויאלי לא יכול לקיים את תנאי השפה, לכן נבחר בפיתרון הכללי:

$$\phi = (Ar^\nu + B r^{-\nu})\cdot (C\sin(\nu\varphi)+D\cos(\nu\varphi))$$נציב תנאי שפה:

$$\phi(\varphi=0) = (A r^\nu + B r^{-\nu})\cdot D = 0 \Rightarrow D=0$$נגדיר:

$$A \cdot C \equiv \tilde A, B\cdot C \equiv \tilde B $$נציב:

$$\phi = (\tilde A r^\nu + \tilde B r^{-\nu}) \sin(\nu\varphi)$$נציב $$\varphi = \alpha$$:

$$\phi(\varphi=\alpha) = (\tilde A r^\nu + \tilde B r^{-\nu}) \sin(\nu \alpha) = 0 \Rightarrow \nu \alpha = \pi n \Rightarrow \nu = \frac{\pi n}{\alpha}, n\in \N $$בפיתרון הכללי ביותר:

$$\phi = \sum_{n=1}^\infty (\tilde A_n r ^{\frac{\pi n}{\alpha }} + \tilde B_n r ^{-\frac{\pi n}{\alpha }}) \sin(\frac{\pi n}{\alpha}\cdot \varphi)$$מתוך עיקרון המינימום / מקסימום $$\tilde B_n = 0$$:

$$\phi = \sum_{n=1}^\infty \tilde A_n r ^{\frac{\pi n}{\alpha }} \sin(\frac{\pi n}{\alpha}\cdot \varphi)$$מכאן מפתחים את המקדמים לפי:

$$\phi(r=a)=V(\varphi)$$ומקבלים ביטוי ל - $$\tilde A_n$$.

מה השדה?

$$\vec E = -\nabla \phi = - \hat r \sum_{n=1}^\infty \tilde A_n \frac{\pi n}{\alpha} r^{\frac{\pi n}{\alpha}-1}\cdot \sin(\frac{\pi n}{\alpha}\varphi) - \hat \varphi\sum_{n=1}^\infty \tilde A_n \frac{\pi n}{\alpha} r^{\frac{\pi n}{\alpha}-1} \cdot \cos(\frac{\pi n}{\alpha}\varphi )$$נשים לב, כי באיבר הראשון $$n=1$$ החזקה של $$r$$ יכולה להיות שלילית כאשר $$\alpha>\pi$$.