User:Ronelm/sandbox8

בפרקים הקודמים ראינו כיצד ניתן לפתור את משוואת לפלאס בקורדינטות קרטזיות ואזימוטליות,

בפרק זה נראה כיצד ניתן לפתור את משוואת לפלאס בקורדינטות כדוריות.

פתרון בהפרדת משתנים - קורדינטות כדוריות
בקורדינטות כדוריות, משוואת לפלאס היא:

$$\nabla^{2} \phi=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial \phi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial \phi}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2} \phi}{\partial \varphi^{2}}=0$$פתרון בהפרדת משתנים:

$$\phi=R(r)T(\theta)\Psi(\varphi)$$נציב:

$$\nabla^2 \phi = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 R' T \Psi) +\frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin \theta R T' \varphi) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \Psi''RT=0$$נכפול ב $$\frac{r^2 \sin \theta}{RT\Psi}$$:

$$\underbrace{ \frac{\sin^2 \theta}{R} \frac{\partial}{\partial r} (R' r^2) + \frac{\sin \theta}{T} \frac{\partial}{\partial \theta} (T' \sin\theta)}_ {\text{Function of }\theta,r \text{ only}} + \underbrace{ \frac{\Psi''}{\Psi}}_{\text{function of }\varphi \text{ only } \equiv -\mu^2} =0$$נפתור את המשוואה עבור Ψ:

$$\frac{\Psi''}{\Psi}=-\mu^2 \Rightarrow \Psi'' + \mu^2 \Psi =0$$אצלנו $$\mu^2>0$$ ולכן:

$$\Psi = A \sin(\mu \varphi) + B \cos(\mu \varphi)$$נציב חזרה את הקבוע $$\mu^2$$ ונקבל:

$$\underbrace{\frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial r} (R' r^2)} _{\text{depends only on }r} + \underbrace{\frac{1}{R\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (T'\sin\theta) - \frac{\mu^2}{\sin^2\theta}} _{\text{depends only on }\theta} =0$$כלומר נקבל:

$$\begin{cases} \frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial r} (R' r^2) = l(l+1) \\ \frac{1}{T \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(T' \sin\theta) -\frac{\mu^2}{\sin^2\theta} + l(l+1)=0 \end{cases}$$

עבור r:

$$R'' r^2 + R'\cdot 2r - l(l+1) R=0$$$$R(r) = c r^l + D r^{-l-1}$$משוואת לז'נדר עבור $$u=\cos\theta$$:

$$\frac{\partial}{\partial u} ((1-u^2) \frac{\partial T}{\partial u}) + (l(l+1) - \frac{\mu^2}{1-u^2} )T=0$$$$\Rightarrow T(\theta) = A P_l^\mu (\cos\theta) + B Q_l^\mu (\cos\theta) $$משוואות ההפרדה שקיבלנו:

$$\begin{cases} \frac{\Psi''}{\Psi}=-\mu^2 \\ \frac{\partial}{\partial r} (r^2R') - l(l+1)R=0 \\ \frac{\partial}{\partial u}[(1-u^2) \frac{\partial T}{\partial u}] + [l(l+1) - \frac{\mu^2}{1-u^2}] T = 0 ,& u=cos\theta \end{cases}$$

פתרון טריוויאלי
$$\mu=l=0$$

$$\begin{cases} \Psi=0 \Rightarrow \Psi=A\varphi+B \\ \frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 R') = 0 \Rightarrow R'=\frac{\tilde c}{r^2} \Rightarrow R=\frac{c}{r}+D \\ \frac{\partial}{\partial \theta} (T' \sin\theta)=0 \Rightarrow T'=\frac{\tilde E}{\sin\theta} \Rightarrow T = E\cdot \ln(\tan(\theta/2))+F \end{cases}$$

פתרון כללי
$$\mu \neq 0,\mu^2>0$$

כבר בשלב הפיתוח רשמנו את הפתרון הכללי:

$$\begin{cases} \Psi = A \sin(\mu \varphi) + B \cos(\mu \varphi) \\ R(r) = c r^l + D r^{-l-1} \\ T(\theta) = A P_l^\mu (\cos\theta) + B Q_l^\mu (\cos\theta) \end{cases}$$הערות:


 * אם פותרים בכל התחום $$\varphi\in[0,2\pi]$$ אז $$\mu\in \Z$$, ולכן נהוג לרשום $$\mu=m$$.
 * אם פותרים בכל התחום $$\theta \in [0,\pi]$$ אז $$l\in \Z$$, וגם אין $$Q$$ בפתרון: $$T=p_l^m (\cos\theta)$$

יש קשר רקורסיבי בין פונקציות לג'נדר:

$$P_l^m (\cos\theta) = (1-u^2)^{\frac{|m|}{2}} \frac{d^{|m|}}{d u^{|m|}} P_l(u) \Rightarrow
 * m|\leq l$$$$(l+1) P_{l+1}(u) = (2l+1) P_l(u) - l P_{l-1}(u)$$

דוגמא 1
חרוט PEC בפוטנציאל $$V$$.

בנוסף קיים משטח אינסופי PEC מוארך.

נרצה לפתור את $$\phi$$.

בין החרוט למשטח:

$$\phi = E \cdot \ln(\tan(\theta/2))+F$$נציב תנאי שפה:

$$\begin{cases} \phi(\theta = \pi/2) = E \cdot \ln(\tan(\pi/4))+F=F=0 \\ \phi(\theta=\alpha) = E \cdot \ln(\tan(\alpha/2))=V \Rightarrow E= \frac{V}{\ln(\tan(\alpha/2))} \end{cases}$$נקבל:

$$\phi = V \cdot \frac{\ln(\tan(\theta/2))}{\ln(\tan(\alpha/2))}$$נמצא את השדה החשמלי:

$$\vec E = -\nabla \phi = -\frac{1}{r} (\frac{\partial \phi}{\partial \theta}) \hat \theta = -\frac{V}{\ln(\tan(\alpha/2))} \cdot \frac{1}{r} \frac{1}{\sin\theta} \hat \theta $$

דוגמא 2
מחוץ לכדור אין מטענים - לכן נפתור שם את משוואת לפלאס.

בתוך הכדור - יש פילוג מטען נתון (דיפול) ולכן נפתור את משוואת פואסון.

הפיתרון מחוץ לכדור:

תנאי שפה:

$$\begin{cases} \phi_1(r=a)=V \\ \phi_1(r\rightarrow \infty)=0\end{cases}$$נבחר:

$$\phi_1 = \frac{A}{r}+B$$$$\begin{cases} \phi_1(r=a)=V=\frac{A}{a} \\ \phi_1(r\rightarrow \infty)=B=0\end{cases}$$ולכן נקבל:

$$\phi_1 = V\cdot \frac{a}{r}$$בתוך הכדור:

$$\phi_2=\phi_p+\phi_h$$הפתרון הפרטי הוא יהיה פיתרון של דיפול במרחב חופשי:

$$\phi_p = \frac{P\cos\theta}{4\pi\epsilon_0 r^2}$$תנאי השפה הוא:

$$\phi_2(r=a)=\phi_p(r=a)+\phi_h(r=a)=V $$$$\Rightarrow V=\phi_h(r=a)+\frac{P\cos\theta}{4\pi\epsilon_0 a^2}$$$$\phi_h (r=a) = V-\frac{P\cos\theta}{4\pi\epsilon_0 a^2}$$נבחר פיתרון מהצורה:

$$\phi_h = A + (Cr + \underbrace{\frac{D}{r^2}}_{=0 \text{ min/max principle}}) \underbrace{\cos\theta}_{P_1^0 (\cos\theta)} = A+Cr \cos\theta$$נציב את תנאי השפה:

$$\phi(r=a) = A+Ca \cos\theta = V- \frac{P\cos\theta}{4\pi\epsilon_0 a^2}$$הביטוי צריך להיות נכון לכל θ:

$$A=V,C=-\frac{P}{4\pi\epsilon_0 a^3}$$נציב כדי לקבל את הפוטנציאל בפנים:

$$\phi_2 = \phi_h + \phi_p = \underbrace{\frac{P\cdot \cos\theta}{4\pi\epsilon_0 r^2 }}_{\text{Source} }

+\underbrace{V- \frac{P \cos\theta r}{4\pi\epsilon_0 a^3}}_{\text{Reaction}} =V+\frac{P}{4\pi\epsilon_0} (\frac{1}{r^2} - \frac{r}{a^3}) \cos\theta$$מה צפיפות המטען על שפת הכדור?

$$\eta = \hat r \cdot (\epsilon_0 \vec E_{out} - \epsilon_0 \vec E_{inside}) = [\epsilon_0 \frac{\partial \phi_1}{\partial r} - (-\epsilon_0 \frac{\partial \phi_2}{\partial r})]
 * _{r=a}$$$$\Rightarrow \eta = \epsilon_0 [\frac{r}{a} - 3 \frac{P}{4\pi\epsilon_0} \cos\theta ]$$מה היה קורה אם הדיפול היה בכיוון כלשהו?

$$\phi_p = \frac{\vec P\cdot \hat r}{4\pi\epsilon_0 r^2 } =\frac{ \overbrace{P_x \sin\theta \cos\varphi + P_y \sin\theta \sin\varphi}^{P_1^1(\cos\theta)} + \overbrace{P_z \cos\theta }^{\text{We'v'e already solved}}} {4\pi\epsilon_0 r^2 }$$

דוגמא 3
המשוואה שמקיים הפוטנציאל בחוץ היא לפלאס.

תנאי שפה:

$$\begin{cases} \phi(r=a)=C=0 \\ \phi(r \gg a) = E_0 z + C_2 = E_0 r \cos\theta +C_2 = E_0 r \cos\theta \end{cases}$$נבחר פיתרון מהצורה:

$$\phi = \underbrace{(Ar + \frac{B}{r^2})\cos\theta}_ {\text{ General solution with }l=1,m=0}$$נציב תנאי שפה:

$$\begin{cases} \phi(r=a) = (Aa + \frac{B}{a^2}) \cos\theta = 0\\ \phi(r \gg a)\approx Ar\cos\theta = E_0 r \cos\theta \Rightarrow A=E_0 \end{cases}$$נציב ונקבל:

$$B=-E_0 a^3$$הפיתרון יהיה:

$$\phi = \underbrace{E_0 r \cos\theta}_{\phi_{\text{ext}} } - \underbrace{E_0 \frac{a^3}{r^2} \cos\theta}_{\phi_{\text{reaction}}} = E_0(r-\frac{a^3}{r^2}) \cos\theta $$פוטנציאל התגובה נראה בדיוק כמו פוטנציאל של דיפול בראשית, מכוון בכיוון $$-\hat z$$.

איך נראה פילוג המטען על שפת הכדור?

$$\eta = \hat r (\epsilon_0 \vec E_{out} - \underbrace{\epsilon_0 \vec E_{in}}_{=0} ) = - 3 E_0 \epsilon_0 \cos\theta$$גם פילוג המטען נראה כפילוג של מטען דיפול.

מושג הקוטביות (Polarizability)
מה מומנט הדיפול השקול שיוצר את שדה התגובה (נניח $$\vec P = p \hat z$$)?

$$\phi_{\text{response}} = -E_0 \frac{a^3}{r^2} \cos\theta = \phi_{\text{dip}} = \frac{P\cos\theta}{4\pi\epsilon_0 r^2}$$נשווה מקדמים:

$$-E_0 a^3 = \frac{P}{4\pi\epsilon_0} \Rightarrow P = -4\pi\epsilon_0 a^3 E_0 = \underbrace{4\pi\epsilon_0 a^3}_{\equiv \alpha} \underbrace{(-E_0)}_{\text{Stimulated field}} = \epsilon_0 \cdot 3\underbrace{V}_{\text{Volume}} \cdot (-E_0)$$$$\alpha \equiv \epsilon_0 4\pi a^3 = \epsilon_0 \cdot 3V$$

כך ש α הוא הקיטוביות / polarizability - מתאר את הגיאומטריה והסביבה.

באופן כללי α הוא מטריצה המייצגת תגובה שונה לשדה בכיוונים שונים.

מה קורה אם הכדור מוכנס לאיזור שבו השדה אינו אחיד?

באופן כללי זו בעיה מסובכת.

אבל, אם השדה בסביבת הנקודה שבה אנו ממקמים את הכדור אחיד בקירוב (משתנה על פני סקלת מרחק גדולה משמעותית מרדיוס הכדור), עדיין לשדה יהיה את המבנה:

$$\vec E_{full} = \vec E_{ext} + \vec E_{dip} $$$$\vec P = \alpha \vec E_{ext} = \alpha \vec E^{local}$$

שדות אלקטרוסטטיים בתווך בעל מוליכות סופית
$$\vec J = \underbrace{\sigma}_{\text{conductivity}} \vec E $$איך הגענו במקור למשוואת לפלאס?

$$\begin{cases} 1, & \nabla \times \vec E =0 \Rightarrow \vec E = -\nabla \phi \\ 2, & \nabla \cdot \epsilon_0 \vec E = \rho = 0 \end{cases}$$ולאחר הצבה של (1) ב (2) נקבל:

$$\nabla^2 \phi=0$$במקרה והמוליכות אינה אחידה:

$$\nabla \cdot (\underbrace{\sigma}_{\text{Not constant}} \vec E)=0, \nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E)=\rho$$$$\Rightarrow \begin{cases} \nabla \cdot (\sigma \vec E)=\sigma (\nabla \cdot \vec E)+(\nabla \sigma)\cdot \vec E=0\\ \frac{\rho}{\epsilon_0}=\nabla \cdot \vec E \underbrace{=}_{\text{Gauss's theorem}} -\frac{1}{\sigma}(\nabla \sigma ) \cdot \vec E \end{cases}$$

דוגמא
תנאי שפה לחוק שימור המטען:

$$\hat n \cdot (\vec J_a - \vec J_b) + \nabla_S \cdot \vec K = - \frac{\partial \eta}{\partial t}$$$$\begin{cases} \vec r=a: \hat r \cdot \vec J = 0\\ z=h_2:\hat z \cdot (J_1 - J_2)=0 \\ \phi_{z=0}=0 \\ \phi_{z=h_1+h_2} = V \\ \phi_1 (z=h_2) = \phi_2 (z=h_2) \end{cases}$$

נבחר בפיתרון הטריוויאלי:

$$\begin{cases} \phi_1 = A_1 z+B_1 \\ \phi_2 = A_2 z + B_2 \end{cases}$$ב $$z=0$$:

$$\phi_2(z=0)=B_2=0 \Rightarrow \phi_2=A_2 z$$לאחר הצבת תנאי שפה:

$$\begin{cases} \phi_1 = \frac{V}{h_1+h_2 \frac{\sigma_1}{\sigma_2} } \cdot (\frac{\sigma_1}{\sigma_2}-1) h_2 + \frac{V}{h_1+h_2 \frac{\sigma_1}{\sigma_2}} z \\ \phi_2 = \frac{\sigma_1}{\sigma_2} \frac{V}{h_1+h_2 \frac{\sigma_1}{\sigma_2}} \cdot z \end{cases}$$מה סך הזרם?

$$\vec E_2 = -\nabla \phi_2 = -\frac{V}{h_1+h_2 \frac{\sigma_1}{\sigma_2}} \cdot \frac{\sigma_1}{\sigma_2} \hat z $$$$\vec J_2 = \sigma_2 \vec E_2$$$$I = \frac{\sigma_1 V}{h_1 + h_2 \frac{\sigma_1}{\sigma_2}}\cdot \pi a^2 = \frac{V}{R_{eq}}$$$$\Rightarrow R_{eq}^{-1} = \frac{\sigma_1}{h_1 + h_2 \frac{\sigma_1}{\sigma_2}}\pi a^2 \Rightarrow R_{eq} = \underbrace{\frac{h_1}{\pi a^2 }\cdot\frac{1}{\sigma_1}}_ {\text{Resistance of the top part} } + \underbrace{\frac{h_2}{\pi a^2 }\cdot\frac{1}{\sigma_2}}_ {\text{Resistance of the bottom part}}$$