User:Ronelm/sandbox9

משוואות השדה
במצב הסטטי (או סדר 0 של בעיה מגנטו קוואזי סטטית), השדה המגנטי נקבע דרך המשוואות הבאות:

באלטרוסטטיקה:

$$\begin{cases} \nabla \times \vec E = 0 \\ \nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho \end{cases}$$במגנטוסטטיקה:

$$\begin{cases} \nabla \times \vec H = \vec J \\ \nabla \cdot (\mu_0 \vec H) = 0 \end{cases}$$יש הבדלים במצב סטטי של המקור לשדה החשמלי, והוא צפיפות מטען סטטית, בעוד שהמקור לשדה המגנטי, באופן בלתי תלוי, הוא זרמים סטטיים, קבועים בזמן.

כאשר פתרנו את $$\vec E$$, חילקנו את הפיתרון לפרטי והומגני - הפתרון הפרטי נבע ישירות מן המקורות, והפיתרון ההומוגני "עזר" לנו לקיים תנאי שפה בבעיה המלאה.

גם כאן, בבעיות מגנטו קוואזי סטטיות, נשתמש באותה הדרך מאחר ובאופן כללי מתקיים:

$$\nabla \times \vec H= \vec J \neq 0$$לא ניתן להגדיר $$H=-\nabla \phi$$, אבל עבור שדה חסר מקורות:

$$\nabla \cdot (\mu_0 \vec H) = 0$$ולכן נגדיר:

$$\Rightarrow \mu_0 \vec H = \nabla \times \underbrace{\vec A}_{\text{Potential magnetic vector}}$$מההצבה של הפוטנציאל הוקטורי המגנטי, מתקיימת הזהות הבאה:

$$\nabla \cdot (\nabla \times A)=0$$

פוטנציאל וקטורי
הבחירה ב $$\vec A$$ אינה חד ערכית:

אם מתקיים $$\nabla \times \vec A = \mu_0 \vec H$$, נגדיר עבור פונקציה סקלרית כלשהי Ψ:

$$\vec A' = \vec A + \nabla \Psi $$ואז:$$\nabla \times \vec A' = \nabla \times (\vec A + \nabla \Psi) = \mu_0 \vec H +0 = \mu_0 \vec H$$נקבל את אותו השדה (למעשה משוואת הלמולץ באחת מצורותיה אומרת שניתן להגדיר שדה כמלואו, באופן יחיד, כאשר ידועים גם ה Curl וגם ה Div.

כאן ידוע לנו רק $$\nabla \times \vec A = \vec H$$ ויש לנו חופש לבחור את Div לנוחיותינו).

משוואת לפלאס הוקטורית
ניקח את $$\vec A$$ ונציב בחוק אמפר:

$$\nabla \times \vec H = \nabla \times (\frac{1}{\mu_0} \nabla \times \vec A) = \vec J$$$$\Rightarrow \nabla \times (\nabla \times \vec A) = \mu_0 \vec J $$נשתמש בזהות ונקבל:

$$\nabla (\nabla \cdot \vec A) - \nabla^2 \vec A = \mu_0 \vec J$$על מנת לפשט את המשוואה, נהוג לבחור את כיול קולון:

$$\nabla \cdot \vec A = 0 \Rightarrow \nabla^2 \vec A = - \mu_0 \vec J $$מכאן נובעות שלוש משוואות פואסון סקלריות, שאנו כבר יודעים לפתור:

$$\begin{cases} \nabla^2 A_x = -\mu_0 J_x \\ \nabla^2 A_y = -\mu_0 J_y \\ \nabla^2 A_z = -\mu_0 J_z \end{cases}$$

סופרפוזיציה עבור הפוטנציאל הוקטורי
ראינו שכל רכיב מתנהג כמו משוואת פואסון, ולכן הפיתרון עבור כל רכיב יהיה:$$A_k(\vec r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{J_k(\vec r')}{|\vec r-\vec r'|} dV'$$והפיתרון הכולל יהיה: $$\vec A(\vec r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\vec J(\vec r')}{|\vec r-\vec r'|} dV'$$ כאשר:

נסיק, כי בהינתן שיש לנו מקורות בתווך חופשי (או עבור פיתרון פרטי בתווך עם תנאי שפה) נחשב את $$\vec A$$ על ידי סופרפוזיציה, ומתוך זה נחלץ את $$\vec H$$:
 * $$\vec r'$$ - מערכת המקור.
 * $$\vec r$$ - מערכת הצופה. הנקודה שבה מחשבים את $$\vec A$$.

$$\vec H = \frac{1}{\mu_0 } \nabla \times \vec A$$הערה חשובה:

נשים לב כי רכיב כלשהו של $$\vec J$$ תורם רק לאותו רכיב של $$\vec A$$.

בניגוד ל $$\nabla \times \vec H = \vec J$$ שבו כל רכיב של $$\vec J$$ יכול לתרום לרכיבים שונים של $$\vec H$$ (תקף בכל מערכת קורדינטות).

דוגמא - טבעת זרם
נרצה לחשב את $$\vec A$$, ומתוכו את $$\vec H$$.

$$\vec r' = a \cos \varphi' \hat x + a \sin\varphi' \hat y, dl'=a d\varphi', \vec r = x \hat x + y \hat y + z \hat z$$$$\vec A = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{Ia d\varphi' \overbrace{\hat \varphi}^{=-\hat x \sin \varphi'+ \hat y \cos \varphi'} } {|(x-a\cos\varphi')\hat x + (y - a \sin\varphi' ) \hat y + z \hat z |}=...$$$$... = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{Ia d\varphi' ( -\hat x \sin \varphi'+ \hat y \cos \varphi') } {\sqrt{(x-a\cos\varphi')^2 + (y - a \sin\varphi' )^2 + z^2 }}$$את האינטגרל הנ"ל לא ניתן להעריך באופן אנליטי.

נניח כי $$t \gg a$$, ואז:

$$r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$$נציב באינטגרל ונקבל:

$$\vec A = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{...} {r[1- \frac{2a}{r^2}(x \cos\varphi' + y \sin\varphi') + \frac{a^2}{r^2}]^{1/2}}$$נשתמש בקירוב:

$$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{a}{r}}} \overbrace{\approx}^{\frac{a}{r}\ll 1} 1 - \frac{1}{2} \frac{a}{r}$$$$\vec A =\frac{\mu_0 Ia}{4\pi} \int_{\varphi'=0}^{2\pi} \frac{d\varphi' [-\hat x \sin\varphi' + \hat y \cos \varphi']}{r} \cdot (1 - \frac{a}{r^2} (x \cos \varphi' + y \sin\varphi' ))$$$$\Rightarrow \vec A = \frac{\mu_0}{4\pi} I S \cdot \frac{1}{\gamma^2} \hat \varphi$$כאשר הגדרנו $$S \equiv \pi a^2$$.

$$\vec H = \frac{1}{\mu_0}\nabla \times \vec A = \frac{m}{4\pi r^3} (2 \cos\theta \hat r + \sin\theta \hat \theta)$$כאשר הגדרנו את $$m\equiv I_0 S$$ להיות מומנט הדיפול.

חוק Biot - Savart
הראינו כיצד לחשב את $$\vec A$$, וכדי לקבל את $$\vec H$$ מבצעים רוטור.

ניתן גם לבצע רוטור "מראש" על הנוסחא לחישוב $$\vec A$$, ונקבל את חוק Biot - Savart (BS).

$$\vec A = \int \frac{\vec J(r')}{|\vec r - \vec r'|} dV' \Rightarrow \vec H = \frac{1}{\mu_0} \nabla \times \vec A = \frac{1}{4\pi} \nabla \times \int \frac{\vec J(r')}{|\vec r - \vec r'|} dV' =...$$$$...= \frac{1}{4\pi} \int \nabla \times (\frac{\vec J(r')}{|\vec r - \vec r'|}) dV' = \frac{1}{4\pi} \int [ \nabla (\frac{1}{|r-r'|}) \times \vec J(r') + \frac{1}{|r-r'|} \underbrace{\nabla \times \vec J}_ {=0 } ] dV'$$כאשר השתמשנו בזהות:

$$\nabla \times (\psi \vec F) = \nabla \psi \times \vec F + \psi (\nabla \times \vec F)$$ובנוסף איפסנו את $$\nabla \times \vec J$$ מכך שהגזירה היא לפי קורדינטת הצופה, בעוד $$\vec J$$ לא תלוי בהן.

נקבל:

$$\Rightarrow \vec H = \frac{1}{4\pi} \int \nabla (\frac{1}{|r-r'|}) \times \vec J(\vec r') dV' = \frac{1}{4\pi} \int [ -\frac{1}{|r-r'|^2} \cdot \hat i_{r',r} \times \vec J(\vec r') ] dV'$$$$\text{Biot Savart law: } \vec H = \frac{1}{4\pi} \int \frac{\vec J(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2} dV'$$אם יש גם מקורות משטחיים או קווים:

$$\vec H = \underbrace{\frac{1}{4\pi} \int \frac{\vec J(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2} dV'}_{\text{Volume charges}} + \underbrace{\frac{1}{4\pi} \int \frac{\vec K(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2} dS'}_{\text{Surface charges}} + \underbrace{\frac{1}{4\pi} \int \frac{\vec I \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2} \vec{dl'}}_{\text{Linear charges}}$$המגבלה של החוק הנ"ל הוא שהוא שימושי רק כאשר ידועים כל הזרמים במרחב, וניתן לחשב את כולם כסופרפוזיציה.

ואם זה לא המצב?

במקרה כזה, הפתרון המלא לשדה הוא פתרון פרטי ופתרון הומוגני.

הפיתרון הפרטי הוא שדה של טבעת.

הפיתרון ההומוגני לא נובע ממקורות באיזור שבו פותרים. יהיה פתרון שיקוף במקרה הזה (יהיה בתרגול).

תנאי שפה לשדה מגנטי PEC
כדי לבנות באופן שיטתי צריך פיתרון לבעיה המלאה (מקורות בנוכחות תנאי שפה).

נרשום את תנאי השפה עבור $$\vec H$$ בנוכחות PEC.

$$\begin{cases} \hat n \times (\vec H_{out} - \vec H_{in}) = \vec K \Rightarrow \hat n \times \vec H = \vec K \\ \hat n \cdot (\mu_0 \vec H_{out} - \mu_0 \vec H_{in}) = 0 \Rightarrow \hat n \cdot \mu_0 \vec H = 0 \end{cases}$$לכן סמוך לשפת PEC, $$\vec H$$ יהיה רק מקביל לשפה.

בעיית השדה המגנטי מתוארת ע"י:$$\begin{cases} \nabla \times \vec H = \vec J, & \hat n \times \vec H |_{\text{boundry}}=\vec K \\ \nabla \cdot (\mu_0 \vec H) = 0 , & \hat n \cdot \vec H_{\text{boundry}} = 0 \end{cases}$$את הפיתרון נחלק ל-2 חלקים: פרטי והומוגני:

$$\vec H = \vec H_p + \vec H_h$$מחוק ביו סבר קיבלנו ש:

$$\vec H_p = \frac{1}{4\pi} \int \frac{\vec J(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2} dV'$$איזו מערכת משוואות מקיים הפיתרון ההומוגני?

$$\begin{cases} \nabla \times (\vec H_h) = \nabla \times (\vec H - \vec H_p) = 0 \\ \nabla \cdot (\vec H_h) = \nabla \cdot (\vec H - \vec H_p) = 0 \end{cases}$$תנאי השפה:

$$\hat n \cdot (\mu_0 \vec H)|_{\text{boundry}} = \hat n (\mu_0 \vec H_p + \mu_0 \vec H_h) = 0$$$$\Rightarrow \hat n \cdot \mu_0 \vec H_h = \underbrace{-\hat n \cdot \mu_0 \vec H_p}_{\text{Already known}}$$נשים לב ש $$\vec H_h$$ מקיים את אותן משוואות שמקיים $$\vec E_h$$, ולכן - אפשר להגדיר את הפוטנציאל המגנטי הסקלרי:

$$\vec H_h \equiv -\nabla \phi_m$$נציב בחוק גאוס המגנטי:

$$\begin{cases} \nabla \cdot (\mu_0 \vec H_h)= \nabla \cdot (\mu_0 (-\nabla \phi_m)) = \nabla^2 \phi_m = 0 \\ \hat n \cdot H_n = \frac{\partial \phi_m}{\partial n} = - \hat n \cdot H_p

\end{cases}$$וקיבלנו את משוואת לפלאס עבור הפוטנציאל המגנטי הסקלרי.

נשווה בין שדה חשמלי סטטי לשדה מגנטי סטטי: אם נסתכל על הדוגמא המוכרת של תיל אינסופי: $$\vec H = \frac{I}{2\pi} \hat \varphi $$ולכן פורמלית נגדיר: $$\phi_m = \frac{I}{2\pi} \varphi $$אבל זו לא פונקציה חד - ערכית ולמעשה: $$\phi(2\pi) - \phi(0) = \oint \vec H \cdot \vec{dl} = I $$מתי לא תהיה בעיה?כאשר התחום שבו מתקיים $$\nabla \times \vec H=0$$ הוא תחום פשוט קשר.

דוגמא 1 - כדור PEC בשדה מגנטי
עלינו לפתור את $$\vec H $$ מחוץ לכדור.

מאחר ואין זרמים מחוץ לכדור:

$$\nabla \times \vec H = 0 \Rightarrow \vec H = -\nabla \phi_m $$הפוטנציאל $$\phi_m $$ מקיים:

$$\nabla ^2 \phi_m=0 $$תנאי השפה הינם:

$$\begin{cases} \hat n \cdot \mu_0 \vec H = 0 \Rightarrow \hat r \cdot \mu_0 (-\nabla \phi_m) = 0 \Rightarrow \frac{\partial \phi_m}{\partial r}|_{r=a} = 0 \\ \phi_m(r \gg a) = -H_0 z = -H_0 r \cos\theta \end{cases} $$כדי לקיים את תנאי השפה:

$$\phi_m = (Ar + \frac{B}{r^2}) \underbrace{\cos\theta}_{=P_1^0 (\cos\theta)} $$נציב בתנאי השפה:

$$\begin{cases} A-\frac{2B}{a^3} = 0 \Rightarrow B = \frac{a^3}{2} A \\ \phi_m (r \gg a) \sim Ar\cos\theta = - H_0 r \cos\theta \end{cases} $$נקבל:

$$A=-H_0, B=-\frac{H_0}{2} a^3 $$בסוף, הפוטנציאל המגנטי יהיה:

$$\phi_m = -H_0 (r + \frac{a^3}{2r^2}) \cos\theta = \underbrace{-H_0 r \cos\theta}_{\text{Stimulated potential}} \underbrace{- H_0 \frac{a^3}{2r^2} \cos\theta}_{\text{Reaction potential} }  $$מה השדה המגנטי?

$$\vec H = - \nabla \phi_m = H_0 \hat z - \underbrace{\frac{H_0 a^3}{2 r^3} [2\cos\theta \hat r+ \sin\theta \hat \theta]} _{=-\nabla \cdot (\frac{\cos\theta}{r^2})} $$מה מומנט הדיפול המגנטי השקול שיוצר את שדה התגובה?

$$\frac{m}{4\pi} = -\frac{H_0 a^3}{2} \Rightarrow m = \underbrace{- 2\pi a^3}_{\text{Magnetic polarizability of PEC ball}} \cdot \underbrace{H_0}_{\text{Inducing}} $$


 * קיבלנו $$\alpha_m = -2\pi a^3 \equiv -\frac{3}{2} V $$, בעוד במקרה החשמלי קיבלנו $$\alpha_e = \epsilon_0 \cdot 4\pi a^3 \equiv \epsilon_0 \cdot 3V  $$.
 * האם הפוטנציאל $$\phi_m $$ רציף?

בתוך הכדור $$\vec H = 0 $$ ולכן $$\phi_m = \text{Const}  $$

על שפת הכדור, מבחוץ: $$\phi_m = -H_0 \frac{3}{2} \cdot a \cos\theta  $$

ולכן הפוטנציאל לא רציף!


 * מה הזרם על שפת הכדור?

$$\vec K = \hat r \times \vec H |_{r=a} = \hat r \times (H_0 \hat z - \frac{H_0 a^3}{2 a^3} \sin\theta \hat \theta) = -\frac{3}{2} H_0 \sin\theta \hat \varphi $$אם נסכם את מומנט הדיפול של "שכבות" הכדור, נקבל סך הכל את מומנט הדיפול השקול.

דוגמא 2 - גליל PEC בשדה מגנטי אחיד
תנאי השפה דומים מאוד לדוגמא הקודמת.

ניתן לפתור עם פוטנציאל סקלרי ולקבל:

$$\phi_{m,s} = H_0 \frac{a^2}{r}\sin\varphi $$$$\phi_m = \phi_{m,s} + \phi_{ext}  $$ולכן:

$$\vec K = -2H_0 \cos\varphi \hat z $$אם נסתכל על חתך הגליל, סך הזרם החוצה את החתך הוא אפס!

ולכן - אין בעיה להגדיר $$\phi_m $$.

נשווה מקדמים:$$\frac{P_{2D}}{2\pi} = H_0 a^2 \Rightarrow P_{2D} = H_0 \cdot (2\pi a^2) = (-H_0) \cdot (-2\pi a^2) $$$$\Rightarrow \alpha_{2D} = -2\pi a^2 = -2S  $$$$\vec H_s = -\frac{H_0 a^2}{r^2} \cdot [-\sin\varphi \hat r + \cos\varphi \hat \varphi] $$$$H_{2D} = \frac{Id}{2\pi r^2} (\sin\varphi \hat r - \cos\varphi \hat \varphi)  $$

כא"מ והשראות
עבור הדוגמא משמאל, נכתוב את חוק פאראדיי:

$$\oint \vec E \cdot \vec{dl} = -\frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial t} \mu_0 \iint \vec H \cdot \vec{dS} = i(R_1+R_2) $$ולכן עקרון לנץ הוא:

$$i = -\frac{\partial \psi}{\partial t} \cdot \frac{1}{R_1+R_2} $$המתחים $$V_{R1}\neq V_{R2}  $$, ובנוסף הם בסימן הפוך זה לזה בכלל כיוון הזרם ההפוך בנגדים.

המתח הנמדד במד באיור (XXX):

$$V_{21} = -\int_1^2 \vec E \cdot \vec{dl} $$נרשום את חוק פאראדיי הדיפרנציאלי:

$$\nabla \times \vec E^{(1)}= -\mu_0 \frac{\partial H^{(0)}}{\partial t} $$ אם נבצע:

$$\oint \vec E \cdot \vec{dl} = \int_{1\rightarrow 2} \vec E \cdot \vec{dl} + \int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl} = - \frac{\partial \psi}{\partial t} = -V_{21}+\int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl} =-\frac{\partial \psi}{\partial t} $$נציג את אותו הקשר בצורה שונה:

$$V_{21} = \int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl} + \frac{\partial \psi}{\partial t} $$ מקרה 1:

אם $$\frac{\partial \psi}{\partial t} $$ זניח, או שהבעיה סטטית, חוזרים לתרחיש המוכר:

$$V_{21} = \int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl} $$אם במקרה זה נניח שהחוטים נראים כמו באיור (XXX):

$$\vec J = \frac{I}{A}, E = \frac{J}{\sigma} \Rightarrow V_{21} = \frac{J}{\sigma}\cdot l = \frac{I}{A\sigma}\cdot l = \underbrace{(\frac{l}{A\sigma})}_{\equiv R} I $$

מקרה 2:

$$\frac{\partial \psi}{\partial t} $$ לא זניח.

אם כעת נניח שכל החוטים עשויים מ PEC:

$$V_{21} = \underbrace{\int \vec E \cdot \vec{dl} }_{=0} + {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}} ={\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}} $$מאחר ומתקיים:

$$\psi = \mu_0 \iint \vec H \cdot dS $$וגם מדובר בבעיה ליארית:

$$\vec H \propto I $$מתקיים:

$$\psi = \underbrace{L}_{\text{Inductance}} \cdot I  $$$$\Rightarrow {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}} = \underbrace_{=L} \cdot {\displaystyle {\frac {\partial I }{\partial t}}} = L \frac{\partial I}{\partial t} = V_{21} $$

השראות הדדית
באופן כללי, עבור איור (XXX):

$$\begin{cases} \psi_1 = L_{\text{self 1}} \cdot I_1 + L_{\text{mutual}} \cdot I_2 \\ \psi_2 = L_{\text{mutual}} \cdot I_1 + L_{\text{self 2}} \cdot I_2 \end{cases} $$אם נכתוב זאת באופן מטריציוני:

$$\begin{pmatrix} V_1\\ V_2 \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} L_{11} & L_{12} \\ L_{21} & L_{22} \end{pmatrix}}_{L} \cdot \begin{pmatrix} \frac{\partial I_1}{\partial t} \\ \frac{\partial I_2}{\partial t} \end{pmatrix} $$כאשר המטריצה L חייבת להיות סימטרית.

דוגמא
נתונות 2 טבעות, $$R_1 \gg R_2 $$.

מה ההשראות ההדדית?

$$\psi_2 = \mu_0 \frac{I_1}{2R_1}\cdot \pi R_2^2 = \underbrace{\mu_0 \frac{\pi R_2^2 }{2R_1}}_{\equiv L_{21}} \cdot I  $$