User:Rosenkrantz~enwiki

Versio normal:


 * $$v\,$$


 * $$w\,$$


 * $$w'= w - v\,$$


 * $$A' = A - J = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$$


 * $$T' = T - J = \frac{1}{10} - \frac{1}{10} = 0$$

Versió relativista:


 * $$w'=\frac{w-v}{1-wv/c^2}$$


 * $$A'=\frac{A-J}{1-AJ/c^2}$$


 * $$T'=\frac{T-J}{1-AJ/c^2}$$


 * $$T = \frac{c}{10}$$


 * $$A = c\,$$


 * $$A'=\frac{A-J}{1-AJ/c^2}=\frac{c-\frac{c}{10}}{1-\frac{c\frac{c}{10}}{c^{2}}}=\frac{c(1-\frac{1}{10})}{1-\frac{1}{10}} = c$$


 * $$T'= \frac{T-J}{1-TJ/c^2} = \frac{0}{1- 1/10000} = 0$$

Aquil·les (o Aquil·leu en la meva traducció favorita de la Iliada), símbol de la velocitat, ha d'atrapar la Tortuga, símbol de la morositat. Aquil·les corre deu vegades més ràpid que la Tortuga, i li dona 10 metres d'avantatge. La cèl·lebre paradoxa ideada per Zenó d'Elea[wp] consisteix en veure que, quan Aquil·les recorre aquests deu metres, la tortuga recorre un metre; quan Aquil·les recorre aquest metre, la tortuga recorre un decímetre; quan Aquil·les recorre aquest decímetre, la tortuga recorre un centímetre, i així infinitament, de forma que Aquil·les corre per sempre sense atrapar-la mai. La clau de la paradoxa rau en la postular una infinita divisibilitat de l'espai però no del temps, de forma que un temps finit no permeti els infinits passos que constitueixen la carrer. Després de que Borges n'exposi i examini totes les refutacions conegudes a La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga, conclou que:

Mi opinión, después de las calificadísimas que he presentado, corre el doble riesgo de parecer impertinente y trivial. La formularé, sin embargo: Zenón es incontestable, salvo que confesemos la idealidad del espacio y del tiempo. Aceptemos el idealisme, aceptemos el crecimiento concreto de lo percibido, y eludiremos la pululación de abismos de la paradoja.

O sigui, que no hi ha res a fer. Ara em proposo ara integrar aquesta paradoxa en un model físic de l'Univers (al que alguns anomenen la World Wide Web). Concretament examinaré què passa si Aquil·les i la Tortuga viatgessin a velocitats properes a les de la llum i com la teoria de la relativitat restringida[wp] hi afectaria.

Comencem reformulant una mica el procediment de la paradoxa. Sabem gràcies a Galil·leu les lleis de composició de velocitats per a un marc de referència inercial (la típica física newtoniana, vaja) és el següent: si una entitat $$A\,$$ es desplaça en moviment rectilini uniforme a velocitat $$v_{A}\,$$ i una entitat $$T\,$$ ho fa en direcció paral·lela a velocitat $$v_{T}\,$$, l'entitat $$T\,$$ té una percepció de la velocitat relativa de $$A\,$$ que es correspon a


 * $$v_{R} = v_{A}-v_{T}\,$$.

O sigui, que T veu que A va més a poc a poc del que semblaria per algun observador que estes immòbil. Si Aquil·les corre a 10m/s i la Tortuga a 1m/s, la Tortuga veurà com Aquil·les s’aproxima a 9m/s.

Suposem que la distancia inicial entre $$A\,$$ i $$T\,$$ és de $$x_{0}\,$$ metres. La velocitat d'Aquil·les és $$v_{A} m/s\,$$ i la de la Tortuga és $$v_{T} m/s\,$$. El temps que $$A\,$$ tarda a recorrer la distancia $$x\,$$ és $$t_{A}=\frac{x}{v_{A}}\,$$. Després d'aquest temps $$t_{A}\,$$, la distància $$x_{1}\,$$ que separa els corredors és la següent:


 * $$x_{1} = x_{0} - t_{A}v_{A} + t_{A}v_{T} = x_{0} - t_{A}(v_{A}-v_{T}) = x_{0} - t_{A}v_{R}\,$$

on $$v_{R}\,$$ és la velocitat relativa entre $$A\,$$ i $$T\,$$. Aquesta $$v_{D}\,$$ és el concepte clau del problema. Suposem que Aquil·les i la Tortuga estan separats per 10 metres i respectivament corren a 10 i 1 metres per segon. Per la mecànica clàssica i els marcs de referència de Galileu la distància evoluciona així:


 * $$x_{1} = 10 - \frac{10}{10}(10-1) = 10-9 = 1$$.

La distància que les separarà quan Aquil·les arriba al punt on era la Tortuga és de 1 metre. Podem repetir la operació una altra vegada i obtenim una $$x_{2}\,$$


 * $$x_{2} = 1 - \frac{1}{10}(10-1) = 1 - 9/10 = 1/10\,$$,

o sigui, una desena part de metre. Podem repetir la operació infinites vegades, a cada $$x_{n+1}\,$$ la distància que separa els corredors es divideix per 10.

Mai he entès la mania que té molta gent de voler fer les coses més simples. Sobretot quan no ho són. Què passa si Aquil·les i la Tortuga es desplacen a velocitats properes a la de la llum? El coet espacial d'Aquil·les viatja a la velocitat de la llum (que hom anomena amb la constant $$c\,$$), i el de la Tortuga (un model soviètic, segurament) a una desena part: $$c/10\,$$. Els dos cohets estan originalment separats per un any llum.

La velocitat relativa entre dos cossos en moviment, segons la teoria de la relativitat restringida, és aquesta:


 * $$v_{R}=\frac{w-v}{1-wv/c^2}$$

on $$c\,$$ és la velocitat de la llum, és clar. S'ha de destacar que per velocitat molt petites, aquesta llei de composició és quasi igual a la de Galileu, doncs la fracció de $$wv/c^{2}\,$$ és despreciable. El que ve a dir això de la relativaitat és que 1) la velocitat de la llum és insuperable, 2) la velocitat de la llum és absoluta. Ja que:


 * $$v_{R}=\frac{v_{A}-v_{T}}{1-v_{A}v_{T}/c^2} = \frac{c-c/10}{1- \frac{c\frac{c}{10}}{c^2}} = \frac{c-c/10}{1-1/10} = c$$

La Tortuga percep que Aquil·les se li aprocima a la velocitat de la llum, encara que la Tortuga també s'estigui movent. És per això que la velocitat de la llum és un concepte absolut i una constant universal. En aquest nou entorn, reprenem la paradoxa:


 * $$x_{1} = x_{0} - t_{A}v_{R}\,$$

pel cas que ens ocupa, $$v_{R} = c\,$$ i $$t_{A} = 1\,$$. Per tant, la distància que separa Aquil·les i la Tortuga quan el primer recorre l'any llum que els separa és


 * $$x_{1} = 1c - 1c = 0\,$$.

En resum, que si Aquil·les, que era molt ràpid, corria a la velocitat de la llum, no es produeix tal paradoxa que reclamava Zenó d'Elea. Quina paradoxa, oi? Des del punt de vista de qualsevol observador (la Tortuga inclosa), és atrapada en el primer any de cursa. Podem seguir pensant l'experiment amb altres velocitat relativistes i veurem que el comportament tampoc és totalment intuitiu. Per exemple, si la velocitat d'Aquiles és $$v_{A} = 9c/10\,$$ i de la Tortuga $$v_{T} = 4c/10\,$$, la velocitat relativa és


 * $$v_{R}=\frac{v_{A}-v_{T}}{1-v_{A}v_{T}/c^2} = \frac{5c/10}{1- \frac{36c^2/100}{c^2}} = \frac{5c/10}{64/100} = c\frac{50}{64}$$

i la distancia que els separa evoluciona així:


 * $$x_{1} = 1c - \frac{10}{9}c\frac{50}{64} = 1c - c\frac{500}{576} = c\frac{76}{576} = 0.13c\,$$

que vol dir que cada vegada que Aquil·les arriba al lloc anteriorment ocupat per la Tortuga, la distància és un 13% de la original, mentre que amb la física newtoniana seria encara el 50%. I és que la paradoxa de Zenó d'Elea és tan potent que només la llum la poc trencar; les aproximacions no són suficients, el geni grec només es veu superat per la inevitabilitat de les Constants Universals.