User:RuHouse'ls/sandbox

Dada una sección s de una fibración E sobre X, el k-jet de s contiene la información de las derivadas de s hasta orden k.

Definiciones
Introducimos en primer lugar la definción local, en particular podemos usar coordenadas y tenemos una noción de derivada. Dada una aplicación diferenciable $$f:\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^q$$ es decir, una sección diferenciable del fibrado vectorial trivial de rango real q sobre $$\mathbb{R}^n$$, definimos el r-jet de f en un punto $$p\in\mathbb{R}^n$$ del espacio base como $$ J^r_f(p):=(f(p),f'(p),\ldots,f^{(r)}(p)).$$ El símbolo $$f^{(k)}$$ denota la tupla de todas las derivadas parciales de orden estrictamente k en orden lexicográfico de las variables. Por lo tanto, el r-jet de f en un punto p contiene el valor de las r primeras derivadas de f en el punto. Nótese que esta información es equivalente a desarrollar el polinomio de Taylor alrededor de p con respecto a cada una de las componentes de f. Por otro lado, la información del valor de una función en un punto no es suficiente para obtener el valor de la derivada, se requiere el valor de la función en un entorno del punto. Dos funciones distintas f y g pueden tener el mismo r-jet, en este caso f y g coinciden hasta orden r en p.

El número de derivadas de orden k de la función f coincide con los q veces el número de monomios de grado k en n variables y por lo tanto el r-jet en p de f es una s-tupla con $$ s:=q\left(1+n+{n+1\choose 2}+\ldots{n-1+r\choose r}\right)=q\cdot{n+r\choose r}. $$

En particular, siendo p fijo, el espacio $$\mathbb{R}^s$$ se puede entender como todos los posibles coeficientes de un desarrollo de Taylor en p hasta orden r. Entonces, si el punto está fijado, siempre es posible encontrar una función con un r-jet en p preescrito dado que podemos elegir un polinomio de Taylor con los coeficientes adecuados. Esto no es cierto si p varía.

La definición de r-jet ha sido dado para un punto p fijo, podemos ahora considerar $$p\in\mathbb{R}^n$$ libre. Por lo tanto, para cada sección f tenemos el operador r-jet asignando a cada punto p el r-jet de f en p; esto es por definición el r-jet de f. Dejando f variar también y considerando todos los valores que a priori puede tomar un r-jet obtenemos el 'espacio de r-jets $$J^r(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^q)$$ de secciones $$\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^q$$. Este es isomorfo al espacio euclídeo real de dimensión $$n+q\cdot{n+r\choose r}$$. Nótese que ya no es posible preescribir un punto de este espacio y pedir que sea el r-jet de una sección: si n=q=1 y tomamos el punto (p,0,1) para todo p, entonces estaríamos buscando una función de los reales a los reales constante igual a 0 con derivada no nula. De hecho, en el caso general una elección genérica de puntos no corresponderá a un r-jet de ninguna sección f, estos serán los llamados valores holonómicos.

Referencias

 * Krasil'shchik, I. S., Vinogradov, A. M., [et al.], "Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics", Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958-X.
 * Kolář, I., Michor, P., Slovák, J., Natural operations in differential geometry. Springer-Verlag: Berlin Heidelberg, 1993.  ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.
 * Saunders, D. J., "The Geometry of Jet Bundles", Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
 * Olver, P. J., "Equivalence, Invariants and Symmetry", Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-47811-1
 * Sardanashvily, G., Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians, arXiv: 0908.1886

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