User:Scientist545781/sandbox

В квантові теорії поля, масова щілина є різницею в енергії між станом з найнижчою енергією (вакуумом[link]) і наступним енергетичним рівнем[link?]. Енергія вакууму є 0 за означенням, і, вважаючи, що кожному енергетичному рівню можна поставити у відповідність хвильову функцію деякої вільної частинки, то масова щілина є масою найлегшої частинки. = Загальна ідея = Проблема масової щілини є відкритою теоретичною проблемою в квантованій[link?] теорії Янга-Мілса[link], яка є тісно пов'язаною з явищем конфайнменту[link], [якй є спостережуваним феноменом] (del чи залишити?) квантової хромодинаміки (КХД)[link], а звідси і взагалі з існуванням адронної[link], і зокрема, баріонної[link] матерії.

Лагранжіан теорії Янга-Мілса, пов'язаний до ферміонних[link] полів (у КХД, зокрема) побудований таким чином, що постулює існування кварків[link] і безмасових глюонів[link]. Дійсно, вважається, що високотемпературна КХД гарно описує степені свободи кварк-глюонної плазми[link].

Але за малих (відносно) температур [what temperatures?] в експериментах і в симуляції КХД на гратці було показано[link to experiments?], що відбувається конфаймент кварків, а це означає, що низькоенергетичні стани більше не являються вільними (безмасовими) кварками і глюонами, а існують зв'язані стани, які формують адрони (включаючи, що важливо, протони[link] і нейтрони[link], тобто всю звичайну баріонну матерію спостережуваного всесвіту).

Проблема масової щілини є проблемою математичної фізики[link], в якій потрібно теоретично показати (не комп'ютерними симуляціями) існування феномену масової щілини/конфайнменту в квантовій хромодинаміці і теорії Янга-Мілса побудованій на ферміонних полях в цілому. Ця проблема є широковідомою у спільноті фізиків елементарних частинок[link] (див. наприклад [Kutschke 96]), але після оголошення списку "Проблем Тисячоліття"[link] вона також здобула інтерес у спільноті математиків[link] та математичних фізиків (див. Jaffe-Witten).

Проблема тисячоліття
У 2000-му році Математичний Інститут Клея [link] оголосив список з семи математичних проблем, охарактеризованих як «важливі класичні задачі, розв'язання яких не знайдено впродовж багатьох років». З [семи оголошених математичних проблем][link], дві являються проблемами математичної фізики, а саме проблема існування гладких розв'язків рівняння Нав'є-Стокса[link] і проблема масової щілини у теорії Янга-Мілса. На думку деяких представників фізичної спільноти, а саме Едварда Віттена, це сама важка з "Проблем тисячоліття" [link to video], але, звісно, не всі розділяють цю думку.

Формулювання проблеми:

Довести, що нетривіальна квантова теорія Янга-Мілса існує на просторі $$R^4$$ [link] для будь-якої простої компактної[link] [калібрувальної групи][link] $$G$$ та має ненульову масову щілину $$\Delta>0$$.

= Математичне формулювання = Нехай є теорія з гамільтоніаном[link] $$H$$, така, що його енергетичний спектр[link] має нуль - вакуумний стан, а також лежить в проміжку $$(\Delta; +\infty)$$, причому $$\Delta$$ - скінченна. Отже, $$\Delta$$ є найнижчим енергетичним рівнем (не вакуумним) такої системи, і в проміжку $$(0;\Delta)$$ енергетичний спектр відсутній - система не фізична.

Ця $$\Delta$$ і є масовою щілиною.

Формулювання через кореляційну функцію:

$$\langle \phi(0,t)\phi(0,0)\rangle \sim \sum_{n} A_n e^{-\Delta_n t}$$

Це важливо для КХД (квантової хромодинаміки), адже з експерименту відомо, що сильна взаємодія - короткодіюча, отже повинна переноситися масивними збудженнями [чому масивними?/паралель між іншими взаємодіями/посилання?]. З іншого боку, в лагранжіані[link] теорії неможливо ввести масивні глюони, бо в такому випадку теорія буде неперенормованою[link]. Це і означає, що повинна бути масова щілина - взаємодія переноситься масивними збудженнями, як, наприклад, так званими "глюболами"[link] - безкольоровими масивними комбінаціями глюонів, або легкими мезонами.

Як приклад теорії з масовою щілиною можна представити тривимірну квантову електродинаміку[link] (КЕД), що відповідає компактній тривимірній $U(1)$ групі[link].

Аналогія з КЕД
Компактна тривимірна $$U(1)$$ ґраткова калібрувальна теорія є однією з найкраще дослідженних нетривіальних моделей. Важливим є те, що теорія має певні аналогії з КХД, такі як конфайнмент та порушення хіральної симметрії.

Запишемо дію Вільсона для компактної $$U(1)$$ моделі в (2+1) вимірі:

$$S=\beta \sum_{r,\mu<\nu}U_{\mu\nu}(r)$$

Де $$U_{\mu\nu}(r)$$ - плакетний вклад у дію, а $$\beta=\dfrac{a}{e^2 a_s^2}=\dfrac{1}{g^2}\Delta\tau$$.

В розкладі слабкого зв'язку дію можна переписати наступним чином:

$$S=\beta\left[\Delta\tau\sum_r\sum_{\mu<\nu}\left(1-\cos{\theta_{\mu\nu}(r)}\right)\right]$$

Антисиметрична масова щілина є фундаментальною ознакою саме компактної тривимірної $$U(1)$$ теорії. Було доведено [link], що в континуальній границі модель переходить до теорії з вільним скалярним полем масивних бозонів - так званих монополів. Їх конденсація і пояснює масову щілину в $$U(1)$$ моделі. В такому випадку границя для масової щілини поводить себе наступним чином:

$$am_D=\sqrt{\dfrac{8\pi^2}{g^2}}\exp{\left[-\dfrac{\pi^2}{g^2}v(0)\right]}$$

Де $$v(0)=0,2527$$ - кулонівський потенціал при нульовій відстані.

Можливо (поки що немає ні практичного, ні теоретичного підґрунття), подібний механізм призводить до появи масової щілини в квантовій-хромодинаміці. Також, вже теоретично передбачені масивні частинки, кандидати на перенесення сильної взаємодії, як, наприклад, глюболи або легкі мезоні.

= Обчислення масової щілини в КХД = Щоб знайти масову щілину в квантовій хромодинаміці можна йти подібним шляхом, як і в квантовій електродинаміці:

$$\langle F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \rangle_{C} \sim e^{-\Delta r}$$

$$C$$ означає, що необхідна зв'язна частина кореляційної функції.

$$\langle F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \rangle_{C}=\langle F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \rangle-\langle F_{\mu\nu}\rangle^2$$

Тобто, необхідно розраховувати кореляційну функцію полів і сподіватися, що отримаємо потрібне експоненційне згасання з відстанню.

Інший метод: побудувати трансфер-матрицю[link] на решітці, яку можна звести до діагонального вигляду[link]. Так як власні числа трансфер матриці є проекціями на стан системи, то в такому випадку друге власне число (або друге діагональне число) і буде масовою щілиною (адже перше, очевидно, відповідає за вакуумний стан системи).

В сучасній фізиці фізичні спостережувані величини квантової хромодинаміки можна обчислювати наступними методами:


 * Теорія збурень;
 * Наближення сильного зв'язку на ґратці;
 * Метод Монте-Карло.

Теорія збурень
Це наближення побудоване на припущенні асимптотичної свободи[link], адже відомо, що константа сильної взаємодії[link] $$\alpha_s$$ мала при великих енергіях або на малих відстанях взаємодії.

На жаль, за допомогою цього підходу не можна вивести наявність масової щілини, а отже, він не повністю описує експериментальні дані.

Розклад сильного зв'язку на ґратці
Іншим методом, за яким можна розрахувати фізичні параметри (кореляційні фукнції і їх поведінку) є наближення КХД на ґратці. В такому підході використовується набір дискретних просторово-часових точок (який називається ґраткою)[link], для того щоб з розрахунку від інтегралів по траекторіям перейти до чисельних розрахунків на решітці.

У розкладі сильного зв'язку малим параметром є $$1/g^2$$. При чисельних розрахунках можна отримати масову щілину для КХД, але цей розв'язок не продовжується на континуальну границю[link].

Масову щілину дає кореляційна функція на плакетних полях:

$$\langle U_{\mu\nu}(\vec{x})U^{\mu\nu}(\vec{y})\rangle\sim e^{-\Delta|\vec{x}-\vec{y}|}$$

Тут $$U_{\mu\nu}$$ - плакетний вклад у дію[link], $$\Delta$$ - масова щілина.

$$U_{\mu\nu}(\vec{x})=U_\mu(\vec{x})U_\nu(\vec{x}+\vec{e}_\mu)U_\mu^\dagger(\vec{x}+\vec{e}_\nu)U_\nu^\dagger(\vec{x})$$

Тут $$U_\nu(\vec{x})$$ - паралельний транспортер що задається в узлі $$\vec{x}$$, причому $$U_\mu\in SU(N)$$. Вектори $$\vec{e}_\mu$$ - це одиничні вектори вздовж лінків у напрямі $$\mu$$.

Метод Монте-Карло
Іншим потужним інструменом первинного неаналітичного аналізу є симуляції методом Монте-Карло[link]. Існує досить велика кількість програмних пакетів, імплементуючих КХД на ґратці. З оглядом цієї теми, а також з існуючими реалізаціями можна ознайомитися у роботах[links].

Спрощений псевдокод[link] симуляції наведений нижче: В такому підході значення n можуть бути мільйони, а m тисячі. Варто зазначити, що якщо Больцманівська вага[link] конфігурації зменшується, ми не враховуємо цю ітерацію.

= Глюболи = Для забезпечення калібрувальної інваріантності в КХД необхідно, щоб глюони були безмасовими частинками, але так як сильна взаємодія корткодіюча, то вона повинна переноситися масивними збудженнями. Щоб це обійти можна ввести глюболи - масивні безкольорові комбінації глюонів, які і переносять взаємодію. Вважається, що маса найлегшого глюболу і буде шуканою масовою щілиною в КХД.

В фізиці елементарних частинок глюболи - це теоретично передбачена частинка, що складається виключно з глюонів без включення кварків. Такий стан можливий через те, що глюони сильно взаємодіють не тільки з кварками, а і між собою. Так як глюболи схожі на певні мезони [див. глюболи[link]], то задетектувати їх дуже складно.

Теоретичні розрахунки показують, що глюболи повинні існувати в діапазонах енергій, які можуть бути отримані вже на сучасних прискорювачах.

Існування глюболів є одним з найважливіших теоретичних передбачень сучасної Стандартної Моделі елементарних частинок. Тим не менш, експериментально існування глюболів ще не було підтверджено.