User:Shalaev/sandbox

Определение на множестве вещественных чисел
Наиболее распространёно следующее определение $$Ei$$: $$\operatorname{Ei} (x)=v.p.\int\limits_{-\infty}^x\frac{e^t}{t}\,\mathrm dt =\gamma+\operatorname{ln}|x|+\sum\limits_{n\ge1}\frac{x^n}{n!\cdot n}, \; x\in\Re.\; (1)$$

Интеграл в смысле главного значения в (2) имеет различные разложения в ряд при положительных и отрицательных x, что затрудняет его аналитическое продолжение на комплексную плоскость [т.е. обобщение (2) на случай комплексных значений x].

По этой причине определение (1) представляется ущербным; вместо него более уместно использовать

Основное определение
Интегральная показательная функция — специальная функция, определяемая интегралом

$$\operatorname{Ei} (z)=\int\limits_{-\infty}^z\frac{e^t}{t}\,\mathrm dt =\gamma+\operatorname{ln}(-z)+\sum\limits_{n\ge1}\frac{z^n}{n!\cdot n}, \; |\arg(-z)|<\pi, \;(2)$$

где $$\gamma$$ есть постоянная Эйлера. Подобно ряду для экспоненциальной функции, бесконечная сумма в (2) сходится в любой точке комплексной плоскости. Следовательно, точка ветвления $$z=0$$ целиком унаследована функцией $$\operatorname{Ei}$$ от логарифмической функции. Поэтому не будем здесь рассматривать $$\operatorname{Ei}$$ как многозначную аналитическую функцию; вместо этого сразу же зафиксируем главную ветвь (значение) логарифма в (1) и далее будем считать, что $$\operatorname{Ei}$$ – однозначная аналитическая функция, определённая на всей комплексной плоскости за исключением разреза вдоль положительной вещественной оси.

Возникновение $$\operatorname{Ei}$$ при вычислении интегралов
Интеграл от произвольной рациональной функции, помноженной на экспоненту, выражается в конечном виде через функцию $$\operatorname{Ei}$$ и элементарные функции.

В качестве простого примера интеграла, сводящегося к интегральной показательной функци рассмотрим (предполагая, что $$b>0$$)

$$ \int\limits_0^{\infty}\frac{e^{ibx}\mathrm dx}{x+iz}= \begin{cases} -e^{bz}\operatorname{Ei}(-bz),& \operatorname{arg}z\not\in[\pi/2,\pi],\\ -e^{bz}\left[\operatorname{Ei}(-bz)-2\pi i\right],& \operatorname{arg}z\in(\pi/2,\pi). \end{cases}\;(2) $$

При $$\operatorname{arg}z=\pi$$ интеграла (2) не существует. Случай отрицательных веществееных значений $$z$$ следует рассматривать как предельный:

$$z=a<0,\;\int\limits_0^{\infty}\frac{e^{ibx}\mathrm dx}{x+ia}= \operatorname{lim}\limits_{\epsilon\to +0} \int\limits_0^{\infty} \frac{e^{ibx}\mathrm dx}{x+i(a+i\epsilon)}. \; (3) $$

Из (2) и из (3) следует, что при вещественных положительных значениях $$z$$

$$ \int\limits_0^{\infty}\frac{\operatorname{cos}(bx)\mathrm dx}{x^2+z^2}= -\frac12\left[e^{bz}\operatorname{Ei}(-bz)+e^{-bz}\operatorname{Ei}_1(bz)\right],\;(4)$$

где $$\operatorname{Ei}_1$$ есть т.н. модифицированная интегральная показательная функция :

$$ \operatorname{Ei}_1 (x)=\frac12 \left[\operatorname{Ei}(x+i0)+\operatorname{Ei}(x-i0)\right] =\gamma+\operatorname{ln}x+\sum\limits_{n\ge1}\frac{x^n}{n!\cdot n}. $$

С помощью формул (2) и (3) результат (4) несложно обобщить на произвольные комплексные значения параметра $$z$$.

Интеграл (4) можно найти на стр. 320 справочника Прудникова , однако же приведённое там выражение, по-видимому, неверно.

Следует заметить, что вычисление подобных интегралов (в особенности при комплексных значениях параметров) опасно доверять системам компьютерной алгебры: maxima честно признается, что не умеет его считать, а Mathematica посчитает неправильно.

См. также

 * Интегральный логарифм
 * Интегральный синус
 * Интегральный косинус