User:Soeri10/sandbox

Gelfand afbildningen(opkaldt efter I.M. Gelfand) er en kontinuær homomorfi fra en unital kommutativ Banach algebra A ind i en Banach algebra af kontinuære funktioner. Ydermere, i det specielle tilfælde hvor A også en C*-algebra, da er afbildningen en isometrisk isomorfi. Det betyder at vi kan opfatte enhver af disse C*-algebraer som en algebra af kontinuære funktioner. = Sætningen = Hvis A er en kommutativ unital Banach algebra, og M er rummet bestående af alle komplekse homomorfier på A, så kan man vise at M er et kompakt Hausdorffrum(mht. den svage* topologi). Det betyder at C(M), rummet bestående af alle kontinuære funktioner på M med komplekse værdier, er en kommutativ unital Banach algebra med supremum normen. Vi definerer Gelfand afbildningen således

$$ \Gamma: A \rightarrow C(M) $$

$$ a \mapsto \Gamma(a)(\phi) = \phi(a) \; \; \; a \in A $$ og $$ \phi \in M$$

Det vil altså sige, at &Gamma; sender a til den kontinuære funktion hvis værdi i punktet &phi; er &phi;(a), vi kalder &Gamma;(a) = at Gelfand transformationen af a.

Sætning &Gamma;(a) = at er en kontinuær funktion på M for hvert a i A, afbildningen &Gamma; er en kontinuær homomorfi fra A ind i C(M) og &Gamma; injektiv hvis og kun hvis fællesmængden af alle de maksimale idealer i A er {0}. Ydermere, hvis A er en C*-algebra, så er &Gamma; en isometrisk *-isomorfi.

= Komplekse homomorfier og idealer i en kommutativ Banach algebra = En kompleks homomorfi på en unital kommutativ Banach algebra A, er en ikke-triviel multiplikativ funktionale

$$ \phi: A \rightarrow \mathbb{C} $$

Som nødvendigvis er kontinuær og har norm 1. Lad M være sættet bestående af alle komplekse homomorfier på A. Der er en én-til-én korrespondance mellem disse funktionaler og de maksimale idealer i A. kernen af et hvert &phi; i M er et tydeligvis et ideal i A og maksimalitet kan let påvises. Omvendt kan man ved brug af Gelfand-Mazur sætningnen vise, at et hvert maksimalt ideal i A, er kernen af et funktionale i M. Så den afbildning der sender &phi; til sin kerne, afbilder altså surjektivt på sættet af maksimale idealer i M, og det kan fremgår nemt at denne afbildning er én-til-én. Noter at dette også er gældende for en ikke-kommutativ Banach algebra, den skal bare være unital. M bliver ofte kaldt maksimal ideal rummet af A.

En af de første konsekvenser af denne én-til-én korrespondance, ser man hvis man betragter den kommutative unitale Banach algebra C(X), hvor X er et kompakt Hausdorffrum. Der kan man bruge ovenstående til at vise at en hver kompleks homomorfi &phi; på C(X) er af formen ev(x) = f(x) for et eller andet x i X'', altså &phi; er bare en evaluerings-funktion. Dette giver os en meget nyttig identitet, da spektrummet &sigma;(f'') af en funktion f i C(X), bare er dets billed, det medfører

$$ \sigma(f) = \{\phi(f):\phi \in M\} $$

Dette viser sig også at holde for en arbitrær kommutativ unital Banach algebra, her er kommutaviteten dog essentiel.

= Svage* topologi = Hvis X er et Banach rum og Y er dualen af X, altså vektorrummet bestående af alle lineære funktionaler på X, så er den Y-svage topologi på X defineret som den 'groveste'(færreste åbne mængder) topologi således at alle funktionerne i Y er kontinuære på X. Dette er alle mængder af formen

$$ \{\phi^{-1}(U): \phi \in Y  \; \text{og U er åben i}\;\mathbb{C}   \} $$

Disse mængder udgør en underbasis for den svage topologi på X, ydermere er denne topologi Haussdorff hvis og kun hvis funktionerne i Y separerer punkter i X.

Hvis A* er dual rummet af A, og A** er dualen af A*, så findes der en isometrisk injektiv homeomorfi fra A ind i A**, som identificerer et a i A med et a** i A**, denne afbildning er defineret således

$$ a \mapsto a^{**}(\phi) = \phi(a) \; \; \phi \in A^* $$

Hvis denne afbildning også er surjektiv, kalder man Banach rummet refleksivt. Med eksemplet i starten af sektionen i minde, lad

$$Y = \{a^{**}: a\in A\} \subseteq A^{**}$$.

Så kalder man den Y-svage topologi på A* den svage* topologi. Her ses det let via én-til-én korrespondancen mellem A og A**, at Y separerer punkter A* så A* er også Hausdorff udstyret med den svage* topologi. En underbasis for den svage* topologi er

$$ \{(a^{**})^{-1}(U): a\in A \; \text{og U er åben i}\; \mathbb{C} \} $$

Den svage* topologi bliver ofte kaldt 'topologien for punktvis konvergens', grundet at hvis $$ \{\phi_{\alpha}\}_{\alpha \in I} $$ er et net i A* og &phi; er i A*, så gælder der

$$ \phi_{\alpha} \underset{weak^*}\rightarrow \phi \; \; \Leftrightarrow \; \; \phi_{\alpha}(a) \rightarrow \phi(a) \; \; \; \forall a \in A $$

Grunden til at den svage* topologi er interessant i denne sammenhæng, er at maximal ideal rummet af en unital kommutativ Banach algebra A faktisk er kompakt, når den er udstyret med den svage* topologi. Vi har allerede set at A* med den svage* topologi er Hausdorff, hvilket medfører at M som underrum af A* også er Hausdorff. Elementerne i M har alle norm 1, så de sidder altså inde i den norm-afsluttede enhedskugle af A*. Man ved, grundet Banach-Alaoglu sætningen, at den norm-afsluttede enhedskugle i A* er kompakt med hensyn til den svage* topologi. Så for at vise at M er kompakt, er det altså tilstrækkeligt at vise at M er afsluttet i A* med hensyn til den svage* topologi. Dette følger direkte fra det faktum, at den svage* topologi er topologien for punktvis konvergens. Hvis $$ \{\phi_{\alpha}\}_{\alpha \in I} $$ er et net der svagt*-konvergerer til &phi; i A* og a,b er elementer i A, gælder der

$$ \phi_{\alpha}(a) \rightarrow \phi(a) \; \; \text{,} \;  \;  \phi_{\alpha}(b) \rightarrow \phi(b)  \;\; \text{,}  \; \; \phi_{\alpha}(ab) = \phi_{\alpha}(a) \phi_{\alpha}(b) \rightarrow \phi(a) \phi(b) \; \; \text{og} \; \; \phi_{\alpha}(ab) \rightarrow \phi(ab) $$

Multiplikativiteten af &phi; følger så fra, at i et Hausdorffrum, kan et net kun konvergere til et punkt. Ydermere har vi

$$1 = \phi_{\alpha}(I) \rightarrow \phi(I) $$

derfor er &phi; ikke-identisk nul(ellers ville den ikke være kontinuær). &phi; er altså en kompleks homomorfi og ligger derfor i M. M er afsluttet i A* og dermed også kompakt.

Maksimal idealrummet M af en unital kommutativ Banach algebra A, udstyret med den svage* topologi, er altså et kompakt Hausdorffrum. Dette betyder at C(M), rummet bestående af alle kontinuære funktioner med komplekse værdier på M er en unital kommutativ Banach algebra.

= Bevis af sætningen= Lad A være en unital kommutativ Banach algebra, og M være maksimal idealrummet af A, hvor

$$ \Gamma: A \rightarrow C(M) $$

$$ a \mapsto \Gamma(a)(\phi) = \phi(a) \; \; \; a \in A \; \text{og} \; \phi \in M $$

Sætning

&Gamma;(a) = at er en kontinuær funktion på M for hvert a i A. Afbildningen &Gamma; er en kontinuær homomorfi fra A ind i C(M). &Gamma; injektiv hvis og kun hvis fællesmængden af alle de maksimale idealer i A er {0}. Ydermere, hvis A er en C*-algebra, så er &Gamma; en isometrisk *-isomorfi.

Her betyder en *isomorfi, en isomorfi mellem to C*-algebraer der bevarer *.

Bevis

Hvis $$\{\phi_{\alpha}\}_{\alpha \in I}$$ er et net i M, der svagt*-konvergerer til et &phi; i M, så har vi

$$ a^t(\phi_{\alpha}) = \phi_{\alpha}(a) \rightarrow \phi(a) = a^t(\phi) $$

Dette viser at at er en kontinuær funktion. Lineariteteten og multiplikativiteten af &Gamma; følger direkte fra lineariteten og multiplikativiteten af &phi;, så vi mangler altså bare at tjekke om &Gamma; er kontinuær. Lad a være i A, spektral radiusen r(a) af a er givet ved

$$ r(a) = max\{|\lambda|: \lambda \in \sigma(a)\} $$.

Denne størrelse er altid begrænset af ||a||. Vi husker, at for spektrummet af et element i en unital kommutativ Banach algebra galdt der

$$ \sigma(a) = \{\phi(A): \phi \in M\} $$

Dermed har vi

$$ ||\Gamma(a)||_{\infty} = ||a^t||_{\infty} = max\{|a^t(\phi)| : \phi \in M\} = max\{|\phi(a)|:\phi \in M\} = r(A) \leq ||a|| $$

Her er supremum og maximum ens, da kontinuære funktioner antager deres maksimum værdi på et kompakt set. Dette viser at &Gamma; er en kontraktion, altså er den begrænset og dermed kontinuær. Vi kan dermed konkludere at &Gamma; er en homomorfi. Det er tydeligt at &Gamma;(a) = 0 hvis og kun hvis &phi;(a) = 0 for alle &phi; i M, og dette gælder hvis og kun hvis $$ a \in ker(\phi) $$ for alle &phi; i M. Da hvert ker(&phi;) er et maksimal ideal i A, og en homomorfi er injektiv hvis og kun hvis dens kerne er triviel, betyder det at &Gamma; er injektiv hvis og kun hvis fællesmængden af alle de maksimale idealer i A er {0}.

Lad nu A være en unital kommutativ C*-algebra. Vi ved at C(M) er en unital kommutativ C*-algebra hvor *-operationen er konjugation. Hvis &Gamma; er en *-isomorfi skal der gælde

$$ \Gamma(a^*) = \Gamma(a)^* = (a^t)^* = \overline{a^t} $$.

Så vi skal altså vise $$ \phi(a^*) = \overline{\phi(a)} $$ for et &phi; i M, men &phi; er en kompleks homomorfi på en C*-algebra og de er altid *-bevarende, dermed er &Gamma; også *-bevarende. For at vise at &Gamma; er en isometri, udnytter vi, at der for selv-adjungerede operatorer gælder r(a) = ||a||. Elementet a*a i A er tydeligvis selv-adjungeret, det betyder

$$ ||\Gamma(a)||^2_{\infty} = ||\Gamma(a)^*\Gamma(a)||_{\infty} = ||\Gamma(a^*a)||_{\infty} = r(a^*a) = ||a^*a|| = ||a||^2 $$

Hvor vi har brugt at &Gamma; er en *-bevarende homomorfi, samt C*-identiteten. Dette viser at &Gamma; er en isometri. Dette betyder også automatisk at &Gamma; er injektiv.

Vi mangler nu bare at vise at &Gamma; er surjektiv. Til dette formål kan vi anvende Stone-Weierstrass sætningen, der siger at hvis B er en afsluttet underalgebra af C(X), hvor X er kompakt og Hausdorff, og B separarer punkterne i X, indeholder de konstante funktioner af C(X) samt er afsluttet under konjugation, så er B = C(X). Fordi at &Gamma; er en *-homomorfi så må billedet &Gamma;(A) være en underalgebra af C(M) der er afsluttet under konjugation, samtidig må den også være norm-afsluttet da &Gamma; afbilder isometrisk. De konstante funktioner &lambda; i C(M) er alle indeholdt i &Gamma;(A) da &Gamma;(&lambda; I) = &lambda;. Slutteligt, hvis $$ \phi_1 \neq \phi_2 $$ i M, så kan vi finde et a i A således at $$ \phi_1(a) \neq \phi_2(a) $$ hvilket medfører $$ \Gamma(\phi_1) \neq \Gamma(\phi_2) $$. Ved at anvende Stone-Weierstrass, ser vi så at &Gamma;(A) = C(M), og dermed er &Gamma; surjektiv.

= Eksempel =

Lad X være et kompakt Hausdorffrum, så er A = C(X) en kommutativ unital C*-algebra. Gelfand afbildningen er per definition

$$ \Gamma: C(X) \rightarrow C(M) $$

$$ f \mapsto \Gamma(f) = f^t \; \; f \in X $$

Hvor $$f^t(\phi) = \phi(f) $$ for et &phi; i M. Men i vores tidligere eksempel, viste vi at ethvert &phi; i M er en evaluerings-funktion for et eller andet x i X. Altså har vi

$$f^t(ev_x) = ev_x(f) = f(x) $$.

Dette betyder, at hvis vi kan identificere et punkt x i X med en evualerings-funktion ev(x) i M, så bliver Gelfand afbildningen &Gamma;(f) = f. Denne 'identifikation' er selvfølgelig bare afbildningen der sender x til ev(x), det er en surjektiv homeomorfi med hensyn til den svage* topologi(punktvis konvergens).

= Referencer =


 * [1],[8] - MacCluer: p.120
 * [2],[3] - MacCluer: p.124
 * [4],[5] - MacCluer: p.127
 * [6] - MacCluer: p.130
 * [7],[9] - MacCluer: p.116

= Litteratur =


 * Barbara D.MacCluer (2009). Elementary Functional Analysis. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-85529-5.