User:Sonmoris/sandbox

frame|Fala o prędkości grupowej mniejszej od prędkości fazowej. Czerwony punkt porusza się z prędkością fazową, a zielony z prędkością grupową. Prędkość grupowa – wielkość opisująca prędkość poruszania się ogólnego kształtu fali - zwanego modulacją fali - w przestrzeni. Odróżniana jest od prędkości grzbietów fali o jednej częstotliwości, które poruszają się z  prędkością fazową.

Na przykład: po wrzuceniu kamienia do sadzawki na początku obserwujemy wiele pojedynczych grzbietów. Mają one różne częstotliwości i poruszają się z różnymi prędkościami fazowymi. Szybko jednak wyłania się jeden większy grzbiet, który jest wynikiem superpozycji fal o różnej częstotliwości - on porusza się z prędkością grupową.

Definicja
Prędkość grupowa vg zdefiniowana jest jako
 * v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k}<\math>

gdzie \omega

W mechanice kwantowej
W mechanice kwantowej, zgodnie z hipotezą de Broglie'a, każdej cząstce odpowiada paczka fal zespolonych zwanych falami materii, dla tych fal:


 * $$v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k} = \frac{\partial (E/\hbar)}{\partial (p/\hbar)} = \frac{\partial E}{\partial p}$$

gdzie: E - energia kinetyczna cząstki, p jej pęd, $$\hbar$$ stała Diraca. Używając mechaniki relatywistycznej, stwierdza się że:


 * $$v_g = \frac{\partial E}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p} \left( \sqrt{p^2c^2+m^2c^4} - mc^2 \right) = \frac{pc^2}{\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}} = \frac{\gamma mvc^2}{\sqrt{{\gamma}^2m^2v^2c^2+m^2c^4}} = \frac{\gamma vc}{\sqrt{{\gamma}^2v^2+c^2}} = v$$

Wynik ten oznacza, że bez względu na masę cząstki, jej prędkość i inne parametry, prędkość grupowa fali materii odpowiada prędkości ruchu cząstki, co jest zgodne z oczekiwaniami.

Wzór na prędkość grupową
Fala modulowana może być przedstawiona jako suma dwóch fal o różnych i niewiele różniących się częstościach. Przyjmując, że fazy początkowe obu fal są równe zero, różnica faz obu fal wynosi:
 * $$ \Delta \phi = \phi_1(z,t) - \phi_2(z,t)=(\omega_1 t - k_1 z) - (\omega_2 t - k_2 z) \,$$

Fale wzmacniają się gdy mają jednakowe fazy, oznacza to że, by poruszać się z prędkością rozchodzenia się wzmocnienia trzeba poruszać się z jego prędkością, czyli dla takiej samej fazy. Oznacza to, że różniczka powyższego wyrażenia jest równa zero
 * $$(\omega_1 dt - k_1 dz) - (\omega_2 dt - k_2 dz)=(\omega_1 -\omega_2)dt - (k_1  - k_2) dz =  0 \,$$

Prędkość jest równa dz/dt, czyli:


 * $$ v_g = \frac {dz} {dt} = \frac {\omega_2 - \omega_1} {k_2 -k_1} = \frac{d\omega} {dk}$$

Związek z prędkością fazową
Między prędkością grupową $$ v_g $$ a fazową $$ v_p$$ istnieją zależności:

$$v_{\rm g} = v_{\rm p} + k \cdot \frac{dv_{\rm p}}{dk}$$

lub

$$v_{\rm g} = v_{\rm p} - \lambda \cdot \frac{dv_{\rm p}}{d\lambda}$$

Z zależności tych wynika, że fala ulega dyspersji gdy prędkość fazowa zależy od długości fali (liczby falowej), a gdy prędkość fazowa nie zależy od długości fali, to fala nie ulega dyspersji.

Wyprowadzenie zależności
Z definicji prędkości fazowej $$v_p$$ wynika:

v_{\rm p} = \frac{\omega}{k} = \lambda \cdot f $$

Związki dla wielkości opisujących fale: długość fali λ, częstotliwość f:
 * $$\omega = 2\pi f \,$$
 * $$ k = \frac{2 \pi}{\lambda}$$


 * $$ \omega = v_{\rm p} k \,$$

to
 * $$\frac{d\omega}{dk}=\frac{d}{dk} v_{\rm p} k = v_{\rm p} \frac{dk}{dk} + k \frac{dv_{\rm p}}{dk}$$


 * $$v_{\rm g} = v_{\rm p} + k \cdot \frac{dv_{\rm p}}{dk}$$


 * $$\frac{d}{dk} = \frac{d}{d\lambda} \cdot \frac{d\lambda}{dk}$$  i   $$\quad\frac{d\lambda}{dk} = \frac{d\frac{2 \pi}{k}}{dk} = -\frac{2 \pi}{k^2}$$


 * $$v_{\rm g} = v_{\rm p} - \lambda \cdot \frac{dv_{\rm p}}{d\lambda}$$

Linki zewnętrzne

 * Subluminal - animacja obrazująca różnicę między prędkością grupową i fazową
 * Group and Phase Velocity - aplet javy.

Velocitat de grup Grupová rychlost Gruppengeschwindigkeit Group velocity Velocidad de grupo Grupa rapido fa:سرعت گروه Vitesse d'une onde Velocità di gruppo מהירות חבורה ჯგუფური სიჩქარე Grupinis greitis Voortplantingssnelheid 群速度 Gruppefart Gruppefart Групповая скорость Group velocity Skupinska hitrost Grupphastighet Групова швидкість Vận tốc nhóm 群速度