User:Spell.ufb/MatLab

1. a) Za sistem opisan diferencijalnom jednačinom $$\ddot y +5\cdot \dot y+4\cdot y=u$$, analitički odrediti odziv na jediničnu odskočnu pobudu i odziv na jediničnu impulsnu pobudu.

$$\ddot y +5\cdot \dot y+4\cdot y =u $$ Uradimo Laplasovu transformaciju,

$$ S^2\cdot Y(s) +5\cdot S Y(s) + 4 \cdot Y(s) = U(s)$$ Izvučemo Y(s) ispred zagrade,

$$Y(s) \cdot (S^2 + 5 \cdot S + 4) = U(s)$$ Izrazimo $$\frac{Y(s)}{U(s)}$$,

$$G(s)= \frac{Y(s)}{U(s)}= \frac{1}{(S^2 + 5 S + 4)}$$ G(s) je funkcija prenosa u kompleksnoj ravni, uradimo inverznu Laplasovu transformaciju,

$$g(t)= \frac{1}{(S+4)\cdot(S+1)}$$ i dobili smo prenosnu funkciju.

E sad, potrebno je izračunati vrednost na izlazu (to je y) za dva različita ulaza, ako su na ulazu (to nam je u) step funkcija (Hevisajd) odnosno delta implus (to su redom jedinična odskočna i impulsna pobuda):

Inače, Laplasova transformacija n-tog izvoda funkcije je tablična transformacija.

Kada na ulazu imamo step funkciju, onda je u(t) = h(t). Laplasova transoformacija h(t) je s^-1. Kada na ulazu imamo delta impuls, onda je u(t)=δ(t), a Laplasova transformacija je 1:

$$G(s)= \frac{Y(s)}{U(s)}= \frac{1}{(S+4)\cdot(S+1)}$$ krećući od ove formule, U(S) prebacimo na drugu stranu i uvrsimo H(S) za odskočni odziv.

$$Y(s)= \frac{H(S)}{(S+4)\cdot(S+1)}$$ $$H(S)= S^-1$$,

$$Y(s)= \frac{H(S)}{S\cdot (S+4)\cdot (S+1)}$$, ovo razdvajamo na parcijelne razlomke,

$$Y(s)= \frac{A}{S} + \frac{B}{(S+4)} + \frac{C}{(S+1)}$$, nalazimo A,B i C tako što desnu stranu izraza pomnožimo sa $$S\cdot (S+4)\cdot(S+1)$$ i izjednačimo sa 1, pa izvršimo izjednačavanje po koeficijentima,

$$A\cdot (S+4)\cdot(S+1) + B\cdot S\cdot (S+4) + C S\cdot (S+1) = 1$$

$$S^2\cdot (A+B+C) + S \cdot (5\cdot A+4\cdot S+C) + 4\cdot A = 1 $$, odakle sledi da je:

$$A = \frac{1}{4}, B = \frac{1}{12}, C=\frac{1}{3} $$ kada uvrstimo to u originalni izraz dobijamo:

$$Y(s)= \frac{1}{4\cdot S} + \frac{1}{12\cdot (S+4)} + \frac{1}{3 \cdot (S+1)}$$, uradimo inverznu laplasovu transformaciju:

$$y(t)= \frac{1}{4}\cdot h(t) + \frac{1}{12} \cdot e^{-4\cdot t}\cdot h(t) + \frac{1}{3} \cdot e^{-t}\cdot h(t)$$, pošto mi radimo samo kauzalne sisteme (kod kojih istorija sistema ne igra ulogu, dakle analiziramo samo od t=0) a hevisajdova funkcija ima vrednost 1 za svako t>0, onda samo h(t) izbrišemo iz svih izraza.

$$y(t)= \frac{1}{4} + \frac{1}{12} \cdot e^{-4\cdot t} + \frac{1}{3} \cdot e^{-t}$$

POTPUNO IDENTIČNOM METODOM SE REŠAVA ODZIV NA DELTA IMPULS, SAMO ŠTO UMESTO H(s) imamo Δ(s) koje je jednako 1. Naravno, rezultat je drugačiji, i glasi:

$$y(t)=\frac{1}{3} \cdot e^{-t}\cdot h(t) - \frac{1}{3} \cdot e^{-4\cdot t}\cdot h(t)$$, što je naravno jednako:

$$y(t)=\frac{1}{3} \cdot e^{-t} - \frac{1}{3} \cdot e^{-4\cdot t}$$ zbog kauzalnosti sistema.