User:SumMus235711/Arnold's Kat

In de wiskunde is Arnold's Kat een systeem uit de Chaos-theorie die de torus transformeert naar zichzelf, genoemd naar Vladimir Arnold, die de effecten ervan in de jaren zestig demonstreerde met behulp van een afbeelding van een kat.

Beschouw de torus $$\mathbb{T}^2$$, namelijk de quotientruimte $$\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$$. De functie Arnold's Kat is de transformatie $$\Gamma : \mathbb{T}^2 \to \mathbb{T}^2$$ gedefinieerd in de volgende formule:


 * $$\Gamma (x,y) = (2x+y,x+y) \bmod 1.$$

Deze transformatie $$\Gamma : \mathbb{T}^2 \to \mathbb{T}^2$$ kan ook als volgt in matrixnotatie gedefinieerd worden:


 * $$\Gamma \left( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \bmod 1 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \bmod 1.$$

Eigenschappen

 * De transformatie $$\Gamma : \mathbb{T}^2 \to \mathbb{T}^2$$ is omkeerbaar, omdat de determinant van de transformatiematrix gelijk is aan 1 zodat de inverse transformatie enkel gehele getallen voortbrengt.
 * De transformatie $$\Gamma : \mathbb{T}^2 \to \mathbb{T}^2$$ behoudt de oppervlakte.
 * De transformatie $$\Gamma : \mathbb{T}^2 \to \mathbb{T}^2$$ is een voorbeeld van een Anosov diffeomorphism.