User:VM0414/sandbox

Fourierove serije

Mnoga polja koriste trigonometriju na naprednije načine nego što se može diskutovati u jednom članku. Oni često uključuju ono što se zove Furijeov red, nakon francuskog matematičara i fizičara iz 18. i 19. veka Džozefa Furijea. Fourierove serije imaju iznenađujuće raznovrsnu primenu u mnogim naučnim oblastima, posebno u svim fenomenima koji uključuju gore pomenute sezonske periodičnosti, kao i u talasnom kretanju, a time i u proučavanju radijacije, akustike, seizmologije, modulacije radio talasa u elektronici i elektroenergetici.

Furijeova serija je suma ovog oblika:

---formula---

gde je svaki od kvadrata različit broj, a jedan dodaje beskonačno mnogo pojmova. Fourier ih je koristio za proučavanje toplotnog protoka i difuzije (difuzija je proces u kojem, kada ispustite kocku šećera u galon vode, šećer se postepeno širi kroz vodu, ili se zagađivač širi vazduhom, ili se rastvorena supstanca širi bilo koje tečnosti).

Fourier-ove serije su takođe primenljive na subjekte čija je veza sa talasnim kretanjem daleko od očiglednog. Jedan sveprisutni primer je digitalna kompresija kojom se slike, audio i video podaci komprimiraju u mnogo manju veličinu što ih čini prenosivim preko telefona, interneta i emitiranja. Drugi primer, gore pomenuti, je difuzija. Između ostalih su: geometrija brojeva, izoperimetrijski problemi, ponavljanje slučajnih šetnji, kvadratna reciprocitet, centralna granična teorema, Heisenbergova nejednakost.

Fourierove transformacije

Još apstraktniji koncept od Furijeovog niza je ideja Furijeove transformacije. Furijeove transformacije uključuju integrale, a ne sume, i koriste se u sličnom nizu naučnih polja. Mnogi prirodni zakoni se izražavaju povezivanjem stopa promene količina sa samim količinama. Na primjer: Stopa promjene populacije je ponekad zajednički proporcionalna sadašnjoj populaciji i iznosu kojim sadašnje stanovništvo ne zadovoljava kapacitet nosivosti. Ova vrsta odnosa naziva se diferencijalna jednačina. Ako se, s obzirom na ovu informaciju, pokuša izraziti populaciju kao funkcija vremena, pokušava se "rešiti" diferencijalna jednačina. Fourier-ove transformacije se mogu koristiti za pretvaranje nekih diferencijalnih jednačina u algebarske jednačine za koje su poznate metode njihovog rešavanja. Furijeove transformacije imaju mnogo koristi. U skoro svakom naučnom kontekstu u kojem se susreću reči spektar, harmonika ili rezonanca, Fourier-ove transformacije ili Fourierove serije su u blizini.