User:Valehiro/Casimir's Trick

Casimir's Trick is a method to simplify the calculation of spin-averaged squared matrixelements in Quantum field theories. It is named after the dutch physicist Hendrik Casimir who apparently was the first to use it.

Relevance
In Quantum field theories, a frequently occurring quantity is the Matrix element $$\mathcal{M}$$ of the S-matrix in Quantum field theories, which describes the transition from an initial state into a final state. The mathematical expression of the Matrix element is often recovered from graphical representations called Feynman diagrams. If the theory includes Fermions, particles with half-integer Spin, the expression for the Matrix element will include Dirac spinors carrying spin-indices.

A lorentz invariant quantity is the squared Matrix element $${\displaystyle \left|{\mathcal {M}}\right|^{2}={\mathcal {M}}^{*}{\mathcal {M}}}$$, which generally contains complex products of Dirac spinors. But if one wishes to calculate this quantity summed over the spin indices (for example the spin average), the calculation can be greatly simplified by using Casimirs Trick, which transforms the spinor product into a trace over a product of matrices. The remarkable aspect of the result is, that the final expression for the squared Matrix element does not involve spinors at all.

Details
Bezeichnen $$ u(k), [\bar v(k)] $$ die Spinoren für einlaufende [Anti-]Teilchen in Feynman-Diagrammen und $$ \bar u(k) [v(k)]$$ Spinoren für auslaufende [Anti-]Teilchen, so gilt:
 * $$ \sum_{s_1,s_2} \left[\bar v^{s_1}(k) \Gamma u^{s_2}(p)\right] \, \left[\bar v^{s_1}(k) \Gamma' u^{s_2}(p)\right]^* = \text{Tr} \left[\Gamma \left(\gamma^\alpha p_\alpha + m_2\right) \bar \Gamma' \left(\gamma^\beta k_\beta - m_1\right)\right]$$
 * $$ \sum_{s_1,s_2} \left[\bar u^{s_1}(k) \Gamma v^{s_2}(p)\right] \, \left[\bar u^{s_1}(k) \Gamma' v^{s_2}(p)\right]^* = \text{Tr} \left[\Gamma \left(\gamma^\alpha p_\alpha - m_2\right) \bar \Gamma' \left(\gamma^\beta k_\beta + m_1\right)\right]$$
 * $$ \sum_{s_1,s_2} \left[\bar v^{s_1}(k) \Gamma v^{s_2}(p)\right] \, \left[\bar v^{s_1}(k) \Gamma' v^{s_2}(p)\right]^* = \text{Tr} \left[\Gamma \left(\gamma^\alpha p_\alpha - m_2\right) \bar \Gamma' \left(\gamma^\beta k_\beta - m_1\right)\right]$$
 * $$ \sum_{s_1,s_2} \left[\bar u^{s_1}(k) \Gamma u^{s_2}(p)\right] \, \left[\bar u^{s_1}(k) \Gamma' u^{s_2}(p)\right]^* = \text{Tr} \left[\Gamma \left(\gamma^\alpha p_\alpha + m_2\right) \bar \Gamma' \left(\gamma^\beta k_\beta + m_1\right)\right]$$

Dabei bezeichnet $$ \Gamma $$ eine beliebige $$ 4\times 4$$-Matrix, $$\gamma$$ die Dirac-Matrizen und ein Überstrich die Dirac-Adjungierte $$ \bar \Gamma = \gamma^0 \Gamma^\dagger \gamma^0 $$. $$ m_i $$ bezeichne die Massen der jeweiligen Teilchen/Antiteilchen wobei der Index $$ i$$ der Gleiche wie bei der Zuordnung der Spins ist.

Mathematischer Hintergrund
Die Dirac-Spinoren lassen sich in zwei unabhängige Spinoren $$ u $$ für Teilchen und $$ v $$ für Antiteilchen zerlegen. Diese erfüllen jeweils eine Vollständigkeitsrelation
 * $$ \sum_\text{Spins} u(p) \bar u(p) = \gamma^\mu p_\mu + m $$
 * $$ \sum_\text{Spins} v(k) \bar v(k) = \gamma^\mu k_\mu - m $$.

Im Matrixelement kommen typische Ausdrücke wie zum Beispiel $$ \mathcal M \propto \bar v(k) \Gamma u(p)$$ vor. Das quadrierte Matrixelement lautet also:
 * $$ \left| \mathcal M \right|^2 \propto \left[\bar v(k) \Gamma u(p)\right] \, \left[\bar v(k) \Gamma u(p)\right]^* = \bar v(k) \Gamma u(p)\, \bar u(p) \bar \Gamma v(k)$$

Wenn über die Spin-Indizes summiert wird, so kann zuerst im mittleren Paar der Dirac-Spinoren die Vollständigkeitsrelation angewandt werden. Es ist im Folgenden zweckmäßig, die Spin- und Raumzeit-Indizes aus Gründen der Nachvollziehbarkeit nicht zu unterdrücken, wobei $$s_1,s_2$$ über die Spins, $$ \alpha,\beta$$ über die vier Dirac-Matrizen und $$\mu,\nu,\rho,\sigma$$ über die vier Komponenten der Spinoren summieren:
 * $$ \sum_{s_1,s_2} \left| \mathcal M \right|^2 \propto \sum_{s_1,s_2} \bar v^{s_1}_\mu(k) \Gamma^{\mu\nu} u^{s_2}_\nu(p) \bar u^{s_2}_\rho(p) \bar \Gamma^{\rho\sigma} v^{s_1}_\sigma(k)= \sum_{s_1} \bar v^{s_1}_\mu(k) \Gamma^{\mu\nu} \left(\gamma^\alpha p_\alpha + m_2\right)_{\nu\rho} \bar \Gamma^{\rho\sigma} v^{s_1}_\sigma(k)$$.

In Komponentenschreibweise ist offensichtlicher, dass die Summation über $$ s_1 $$ einfach vollzogen werden kann, da alle Objekte nun kommutieren; es gilt somit
 * $$ \sum_{s_1,s_2} \left| \mathcal M \right|^2 \propto \Gamma^{\mu\nu} \left(\gamma^\alpha p_\alpha + m_2\right)_{\nu\rho} \bar \Gamma^{\rho\sigma} \left(\gamma^\beta k_\beta - m_1\right)_{\sigma\mu} = \text{Tr} \left[\Gamma \left(\gamma^\alpha p_\alpha + m_2\right) \bar \Gamma \left(\gamma^\beta k_\beta - m_1\right)\right]$$

Für die anderen drei Fälle läuft der Beweis analog.

Beispiel: Elektron-Myon-Streuung
Bezeichnen $$ p [p'] $$ den Impuls des ein[aus]laufenden Elektrons und $$ k [k'] $$ den des ein[aus]laufenden Myons, so lautet das Matrixelement der Elektron-Myon-Streuung $$ e^- \mu^- \rightarrow e^- \mu^- $$ in niedrigster Ordnung in der Quantenelektrodynamik:
 * $$ \mathcal M = \bar u(p) (\mathrm i e \gamma^\mu) u(p') \frac{\mathrm i g_{\mu\nu}}{(p+k)^2} \bar u(k') (\mathrm i e \gamma^\nu) u(k) $$

Wird über die Spins der einlaufenden Teilchen gemittelt und über die Spins der auslaufenden Teilchen summiert, so ergibt sich nach zweimaliger Anwendung von Casimirs Trick
 * $$ \frac{1}{4} \sum_{s_1,s_2,s'_1,s'_2} \left| \mathcal M \right|^2 = \frac{1}{4} \frac{e^4}{(p+k)^4} \text{Tr} \left[ \gamma^\mu (\gamma^\alpha p_\alpha + m_e) \gamma^\nu (\gamma^\beta p'_\beta + m_e) \right]\, \text{Tr} \left[ \gamma_\mu (\gamma^\alpha k_\alpha + m_\mu) \gamma_\nu (\gamma^\beta k'_\beta + m_\mu) \right]$$

Literatur

 * David Griffiths: Einführung in die Elementarteilchenphysik. Übersetzt von Thomas Stange. Akademie-Verlag, Berlin 1996, ISBN 3-05-501627-0.
 * Abraham Pais: Inward Bound. Oxford, New York 1986, ISBN 978-0198519713.