User:Wttwcl/sandbox

對給定黎曼度量的二階張量的跡(trace)
已知$$(1,1)$$-張量 $$\textstyle F=\sum_{ik}F_i^k\,dx^i\otimes \frac{\partial}{\partial x^k}$$ 的跡(trace)為 $$\textstyle\operatorname{tr}(F)=\sum_l F_l^l$$.

對 $$(2,0)$$-張量 $$T$$ 我們定義其對應黎曼度量 $$g$$ 的跡(trace)為：
 * $$\operatorname{tr}_g(T)\overset{\underset{\text{def}}{}}{=}\operatorname{tr}(T^\sharp)$$，

$$\textstyle T^\sharp$$是$$(1,1)$$-張量，所以已知其跡是如何計算.

設 $$\textstyle T=\sum_{ij}T_{ij}\,dx^i\otimes dx^j$$，為 $$(2,0)$$-張量場，將分量 $$T_{ij}$$$$\textstyle T_{ij} $$ 第二指數上升讓 $$(2,0)$$-張量變成 $$(1,1)$$-張量，即
 * $$T^\sharp=\sum_{ik}T_{i}^k\,dx^i\otimes \frac{\partial}{\partial x^k}=\sum_{ijk}g^{jk}T_{ij}\,dx^i\otimes \frac{\partial}{\partial x^k}

\quad (\because T_i^k = \sum_j T_{ij}g^{jk})$$. 我們有
 * $$ \operatorname{tr}_g(T)\overset{\underset{\text{def}}{}}{=}\operatorname{tr}(T^\sharp)=

\operatorname{tr}(\sum_{ik}(\sum_jg^{jk}T_{ij})\,dx^i\otimes \frac{\partial}{\partial x^k}) = \sum_i(\sum_j g^{ji}T_{ij}) =\sum_{ij} g^{ij}T_{ij}$$.

$$\textstyle \operatorname{tr}_g(T)=\sum_{ij} g^{ij}T_{ij}$$ 為對 $$(2,0)$$-張量求跡(trace)的公式. 注意：雖然這裡是上升第二指數(raising the second index)，不過對第一指數上升也會得到相同結果.