User:Yoabites/sandbox

= UNIDAD IV Espacios Vectoriales = En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

4.1 Definición de un espacio vectorial.
Para definir a un campo vectorial, vamos a recordar lo que es un vector. Un vector es una magnitud que consta de módulo, dirección y sentido.

Es pues un espacio vectorial V un conjunto de vectores junto con dos operaciones, la suma y la multiplicación por un escalar.

Llamamos u+v a la suma de vectores en V, y αv al producto de un número real α por un vector v∈V. Un espacio vectorial satisface las siguientes propiedades:
 * 1) u+v∈V
 * 2) u+v=v+u
 * 3) (u+v)+w=u+(v+w)
 * 4) Existe un vector nulo 0V∈V tal que v+0V=v
 * 5) Para cada v en V, existe un opuesto (–v)∈V tal que v+(–v)=0V
 * 6) αv∈V
 * 7) α(u+v)=αu+αv
 * 8) (α+β)v=αv+βv
 * 9) α(βv)=(αβ)v
 * 10) 1v=v

Ejemplo:
De acuerdo con las propiedades que vimos en la primera unidad, podemos afirmar que R3 es un espacio vectorial.

Los espacios Rn, con n≥1, son los ejemplos principales de espacios vectoriales. La intuición geométrica desarrollada para R3 nos ayudará a entender y visualizar muchos conceptos de esta unidad.

Los vectores de Rn son n-uplas de números reales, o sea:
 * Rn={(x1,x2,…,xn),conxi∈R}
 * En Rn, la suma de vectores y el producto por un escalar se definen así:
 * Sean u=(u1,u2,…,un)yv=(v1,v2,…vn)∈Rn
 * u+v=(u1+v1,u2+v2,…,un+vn)∈Rn
 * αv=(αv1,αv2,…,αvn)∈Rn

4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.
Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V, W es un subespacio de V si W es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en V.

Condiciones para caracterizar subespacios.
Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V (W⊆V).

a. 0V está en W.

b. Si u y v están en W, entonces u+v está en W.

c. Si u está en W y k es un escalar, ku está en W.

Ejemplo:
W={(x1,x2)∈R2:x2=3x1} ¿es un subespacio de R2?

Primero analicemos el conjunto W. Son todos vectores de R2 tales que la segunda componente es el triple de la primera:

(x1,3x1)=x1(1,3)

W es la recta que pasa por el origen y tiene vector director (1,3), o sea la recta de ecuación y = 3x.

Para decidir si W es un subespacio de R2 habría que verificar que se cumplen los axiomas del 1 al 10. El lector puede comprobar que todos se cumplen en este caso.

4.3 Combinación lineal e independencia lineal.
Sean v1, v2, …, vn, vectores en un espacio vectorial V. entonces cualquier vector de la forma: a1v1 + a2v2 +…+ anvn, donde a1, a2,…,an son escalares se denomina una combinación lineal de v1, v2,…,vn.

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Conjunto generador.
Dado un espacio vectorial V, se llama sistema generador de V a un conjunto de vectores, pertenecientes a V, a partir del cual se puede generar el espacio vectorial V completo. Es decir, un sistema o conjunto generador de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que tienen la propiedad de que cualquier vector del espacio vectorial es combinación lineal de los vectores del sistema generador.

Ejemplo:
Sea v1=(2,-1,4) y v2=(4,1,6). Entonces H=gen{v1, v2}={v:v=a1(2,-1,4)+a2(4,1,6)}. ¿Cuál es la apariencia de H? si v=(x, y, z)ÎH, entonces tiene x=2a1+4a 2, y=-a1+a2 y z=4a 1+6ª 2. Si se piensa que (x, y, z) esta fijo, entonces estas ecuaciones se pueden ver como un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas a1, a2. Este sistema se resuelve en la forma usual:

[Espacio para imagenes]

4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial. Cambio de base.
Un conjunto de vectores S={v1, v2,…, vn} en un espacio vectorial V se denomina base de V si se cumplen las siguientes condiciones. Una base posee 2 características que se acaban de ver, debe tener suficientes valores para generar a V, pero no tantos de modo que uno de ellos pueda escribirse como una combinación lineal de los demás vectores en S. Si un espacio vectorial consta de un número finito de vectores, entonces V es de dimensión finita. En caso contrario, V es de dimensión infinita.
 * S genera a V.
 * S es linealmente independiente

Base:
En términos generales, una “base” para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas.

Ejemplo:
Demostrar si S = {v1, v2,…, v3} es base de R3, v1 = (1,2,1); v2 = (2,9,0); v3 = (3,3,4)

Proponer vector arbitrario, combinación lineal

b = c1v1+ c2v2+ c3v3

(b1, b2, b3) = c1(1,2,1)+ c2(2,9,0)+ c3(3,3,4)

(b1, b2, b3) = c1+2c2+3c3;2c1+9c2+3c3; c1+4c3

c1    + 2c2 + 3c3 = b1           det A = [(1*9*4)+(2*3*1)+0]-[(1*9*3)+0+(4*2*2)]

2c1 + 9c2 + 3c3 = b2                      = [36+6]-[27+16]

c1               + 4c3 = b3                    = -1    Si genera a R3

Dimensión:
Se llama dimensión de un espacio vectorial V al número de vectores que hay en cualquiera de sus bases. Se denota dim (V). Si W es un subespacio de un espacio vectorial n-dimensional, entonces se puede demostrar que la dimensión de W es finita y que la dimensión de W es menor o igual que n.
 * La dimensión de Rn con las operaciones normales es n.
 * La dimensión de Pn con las operaciones normales  es n+1.
 * La dimensión de Mm,n con las operaciones normales es mn.

Producto Interno:
Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real .

Un producto interior sobre V es una función que asocia un número real ‹u, v› con cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas:

Axioma/Propiedades:

 * 1) (v, v) ≥ 0
 * 2) (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.
 * 3) (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)
 * 4) (u + v, w) = (u, w)+(v, w)
 * 5) (u, v) = (v, u)
 * 6) (αu, v) = α(u, v)
 * 7) (u, αv) = α(u, v)

Espacios con producto Interno:
El producto interior euclidiano es solo uno más de los productos internos que se tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación.

u ●v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)

‹u, v› = producto interno general para espacio vectorial V.

4.6 Base ortonormal. Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.
En álgebra lineal, el proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes de un espacio prehilbertiano (usualmente, el espacio euclídeo Rn), otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.

El proceso se basa en un resultado de la geometría euclídea, el cual establece que la diferencia entre un vector y su proyección sobre otro, es perpendicular al primero. Dicho resultado constituye una herramienta para construir, a partir de un conjunto de dos vectores no paralelos, otro conjunto, conformado por dos vectores perpendiculares.

Este algoritmo recibe su nombre de los matemáticos Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt.

Interpretación Geométrica
En el espacio euclídeo (R3, ·) con el producto escalar usual definido, se propone un método para encontrar un sistema de vectores, perpendiculares entre sí, a partir de tres vectores no coplanarios cualesquiera. Sean v1, v2, v3 dichos vectores.

El método consiste de dos proyecciones. La base ortogonal de R3 compuesta por u1, u2, u3, se calcula de la siguiente manera.

Se escoge arbitrariamente uno de los vectores dados, por ejemplo u1 = v1.

u2 se calcula como la diferencia entre v2 y el vector que resulta de proyectar a v2 sobre u1. Dicha diferencia es perpendicular a u1. Es equivalente afirmar que u2 es la diferencia entre v2 y el vector que resulta de proyectar a v2 sobre la recta que genera u1.

u3 es la diferencia entre v3 y el vector que resulta de proyectar a v3 sobre el plano generado por u1 y u2. La diferencia de vectores tiene como resultado otro vector que es perpendicular al plano.

Esta sencilla interpretación del algoritmo para un caso que puede verse es susceptible de generalización a espacios vectoriales de dimensión arbitraria, con productos internos definidos, no necesariamente canónicos. Dicha generalización no es otra que el proceso de Gram-Schmidt.