User:Z E U S/geodesicsequation2

$$ {d^2 x^\mu \over ds^2} + \Gamma^\mu {}_{\alpha \beta}{d x^\alpha \over ds}{d x^\beta \over ds}\ = 0 $$

or

$$ \ddot x^\mu + \Gamma^\mu {}_{\alpha \beta} \dot x^\alpha \dot x^\beta = 0\ $$

$$ \ddot x^\mu + \frac{1}{2} g^{\mu \rho} \left(g_{\rho \alpha,\beta} + g_{\rho\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,\rho}\right)\dot x^\alpha \dot x^\beta = 0 $$

$$ \ddot x^\mu + \frac{1}{2} \left( g^{\mu 0} \left(g_{0 \alpha,\beta} + g_{0\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,0}\right)+ g^{\mu 1} \left(g_{1 \alpha,\beta} + g_{1\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,1}\right)+ g^{\mu 2} \left(g_{2 \alpha,\beta} + g_{2\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,2}\right)+ g^{\mu 3} \left(g_{3 \alpha,\beta} + g_{3\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,3}\right) \right)\dot x^\alpha \dot x^\beta = 0 $$

$$ \ddot x^\mu + \frac{1}{2} \left( g^{\mu 0} \left(g_{0 \alpha,\beta} + g_{0\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,0}\right)+ g^{\mu 1} \left(g_{1 \alpha,\beta} + g_{1\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,1}\right)+ g^{\mu 2} \left(g_{2 \alpha,\beta} + g_{2\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,2}\right)+ g^{\mu 3} \left(g_{3 \alpha,\beta} + g_{3\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,3}\right)\dot x^\alpha \dot x^\beta+

g^{\mu 0} \left(g_{0 \alpha,\beta} + g_{0\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,0}\right)+ g^{\mu 1} \left(g_{1 \alpha,\beta} + g_{1\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,1}\right)+ g^{\mu 2} \left(g_{2 \alpha,\beta} + g_{2\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,2}\right)+ g^{\mu 3} \left(g_{3 \alpha,\beta} + g_{3\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,3}\right)\dot x^\alpha \dot x^\beta+

g^{\mu 0} \left(g_{0 \alpha,\beta} + g_{0\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,0}\right)+ g^{\mu 1} \left(g_{1 \alpha,\beta} + g_{1\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,1}\right)+ g^{\mu 2} \left(g_{2 \alpha,\beta} + g_{2\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,2}\right)+ g^{\mu 3} \left(g_{3 \alpha,\beta} + g_{3\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,3}\right)\dot x^\alpha \dot x^\beta+

g^{\mu 0} \left(g_{0 \alpha,\beta} + g_{0\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,0}\right)+ g^{\mu 1} \left(g_{1 \alpha,\beta} + g_{1\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,1}\right)+ g^{\mu 2} \left(g_{2 \alpha,\beta} + g_{2\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,2}\right)+ g^{\mu 3} \left(g_{3 \alpha,\beta} + g_{3\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,3}\right)\dot x^\alpha \dot x^\beta+

g^{\mu 0} \left(g_{0 \alpha,\beta} + g_{0\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,0}\right)+ g^{\mu 1} \left(g_{1 \alpha,\beta} + g_{1\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,1}\right)+ g^{\mu 2} \left(g_{2 \alpha,\beta} + g_{2\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,2}\right)+ g^{\mu 3} \left(g_{3 \alpha,\beta} + g_{3\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,3}\right)\dot x^\alpha \dot x^\beta+

g^{\mu 0} \left(g_{0 \alpha,\beta} + g_{0\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,0}\right)+ g^{\mu 1} \left(g_{1 \alpha,\beta} + g_{1\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,1}\right)+ g^{\mu 2} \left(g_{2 \alpha,\beta} + g_{2\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,2}\right)+ g^{\mu 3} \left(g_{3 \alpha,\beta} + g_{3\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,3}\right)\dot x^\alpha \dot x^\beta+

g^{\mu 0} \left(g_{0 \alpha,\beta} + g_{0\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,0}\right)+ g^{\mu 1} \left(g_{1 \alpha,\beta} + g_{1\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,1}\right)+ g^{\mu 2} \left(g_{2 \alpha,\beta} + g_{2\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,2}\right)+ g^{\mu 3} \left(g_{3 \alpha,\beta} + g_{3\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,3}\right)\dot x^\alpha \dot x^\beta+

g^{\mu 0} \left(g_{0 \alpha,\beta} + g_{0\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,0}\right)+ g^{\mu 1} \left(g_{1 \alpha,\beta} + g_{1\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,1}\right)+ g^{\mu 2} \left(g_{2 \alpha,\beta} + g_{2\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,2}\right)+ g^{\mu 3} \left(g_{3 \alpha,\beta} + g_{3\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,3}\right)\dot x^\alpha \dot x^\beta+

g^{\mu 0} \left(g_{0 \alpha,\beta} + g_{0\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,0}\right)+ g^{\mu 1} \left(g_{1 \alpha,\beta} + g_{1\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,1}\right)+ g^{\mu 2} \left(g_{2 \alpha,\beta} + g_{2\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,2}\right)+ g^{\mu 3} \left(g_{3 \alpha,\beta} + g_{3\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,3}\right)\dot x^\alpha \dot x^\beta+

g^{\mu 0} \left(g_{0 \alpha,\beta} + g_{0\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,0}\right)+ g^{\mu 1} \left(g_{1 \alpha,\beta} + g_{1\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,1}\right)+ g^{\mu 2} \left(g_{2 \alpha,\beta} + g_{2\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,2}\right)+ g^{\mu 3} \left(g_{3 \alpha,\beta} + g_{3\beta,\alpha} - g_{\alpha \beta,3}\right)\dot x^\alpha \dot x^\beta+ \right) = 0 $$