User:Zlaja(Gimnazija)/sandbox

= Matematičke Operacije =

U matematici, operacija je funkcija koja uzima nula ili više ulaznih vrijednosti (zvanih operandi) u dobro definiranu izlaznu vrijednost.

Najčešće korištene operacije su binarne operacije (to jest operacije drugog ranga) kao što su sabiranje i množenje, i unarne operacije (to jest operacije prvog ranga) kao što su aditivne inverze i multiplikativne inverze. Operacija nultog ranga, ili nularna operacija je konstanta. Mješoviti proizvod je primjer operacije trećeg ranga, koji se također naziva i ternarna operacija.

Generalno, rang se uzima kao konačna vrijednost. Međutim, beskonačne operacije se ponekad razmatraju, u kojem slučaju se uobičajene operacije konačnog ranga nazivaju i finitarne operacije.

Djelomična operacija slično je definarana operaciji, ali sa djelomičnom funkcijom umjesto funkcije.

Vrste Operacija
Postoje dvije česte vrste operacija: unarne i binarne. Unarne operacije uključuju samo jednu vrijednost, kao što su negacija i trigonometrijske funkcije. Sa druge strane, binarne operacije uzimaju dvije vrijednosti i uključuju sabiranje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i stepenovanje.

Osim brojeva operacije mogu uključivati i matematičke objekte. Logičke vrijednosti true i false mogu se kombinirati korištenjem logičkih logičkih operacija,kao što su i, ili i ne. Vektori se mogu sabirati i oduzimati. Rotacije se mogu kombinirati pomoću operacije kompozicije funkcije, izvodeći prvu rotaciju, a zatim drugu. Operacije nad skupovima uključuju binarne operacije uniju i presjek i unarnu operaciju komplementarnosti. Operacije nad funkcijama uključuju kompoziciju i konvoluciju.

Operacije se ne mogu definisati za svaku moguću vrijednost svoje domene. Na primjer, realni brojevi se ne mogu dijeliti sa nulom ili uzeti korijen negativnih brojeva. Vrijednost za koje je definisana operacija formira skup koji se zove njegova domena definicije ili aktivna domena. Skup koji sadrži proizvedene vrijednosti naziva se kodomen, ali skup stvarnih vrijednosti postignutih operacijom je njegov kodomen definicije, aktivni kodomen, slika ili raspon. Na primjer, kod realnih brojeva, operacija kvadriranja proizvodi samo nenegativne brojeve; kodomen je skup realnih brojeva, ali raspon su nenegativni brojevi.

Operacije mogu uključivati različite objekte: vektor se može pomnožiti sa skalarom da bi se formirao drugi vektor (operacija poznata kao skalarno množenje), a operacija unutrašnjeg proizvoda na dva vektora proizvodi količinu koja je skalarna. Operacija može, ali i ne mora imati određena svojstva, na primjer može biti asocijativna, komunitativna, antikomunitativna, idepotentna, itd.

Kombinirane vrijednosti nazivaju se operandi, argumenti ili ulazi, a proizvedena vrijednost naziva se vrijednost, rezultat ili izlaz. Operacije mogu imati manje ili više od dva ulaza (uključujući slučaj nula ulaza i beskonačno mnogo ulaza).

Operator je sličan operaciji po tome što se odnosi na simbol ili proces koji se koristi za označavanje operacije, pa je njihova tačka gledišta drugačija. Na primjer, često se govori o "operaciji sabiranja" ili "sabiranju", kada se fokusiramo na operande i rezultat, ali jedan se prebaci na "sabirni operator"(rijetko na "operator sabiranja"), kada se fokusiramo na proces, ili sa više tačke gledišta, funkcija +: X × X → X.

Binarna operacija uzima dva argumenta x i y, i vraća rezultat x ° y.

Definicija
N-arna operacija ω od X1, ..., Xn do Y je funkcija ω: X1 × ... × Xn → Y. Skup X1 × ... × Xn se naziva domenom operacije, skup Y naziva se kodomenom operacije, a fiksni nenegativni cijeli broj n (broj operanada) naziva se arititet (ili rang) operacije. Dakle, unarna operacija ima arititet jedan, a binarna operacija ima arititet dva. Operacija ariteta nula, nazvana nularna operacija, jednostavno je element kodomene Y. N-arna operacija se također može posmatrati kao (n + 1)-arna relacija koja je ukupna na svojih n ulaznih domena i jedinstvena na njegov izlazni domen.

N-arna parcijalna operacija ω od X1, ..., Xn do Y je parcijalna funkcija ω: X1 × ... × Xn → Y. N-arna parcijalna operacija se također može posmatrati kao (n + 1)-arna relacija koja je jedinstvena na svom izlaznom domenu.

Gore navedeno opisuje ono što se obično naziva finitarnom operacijom, a odnosi se na konačan broj operanada (vrijednost n). Postoje očigledna proširenja u kojima se aritnost uzima kao beskonačan ordinal ili kardinal, ili čak proizvoljan skup koji indeksira operande.

Često, upotreba termina operacija implicira da domen funkcije uključuje moć kodomene (to jest kartezijanski proizvod jedne ili više kopija kododmene), iako to nikako nije univerzalno, kao u slučaj proizvoljne tačke, gdje se vektori množe i rezultiraju skalarom. N-arna operacija ω: Xn → X naziva se interna operacija. N-arnu operaciju ω: Xi × S × Xn − i − 1 → X gdje je 0 ≤ i < n skalarni skup ili skup operatora S naziva eksternom operacijom. Posebno za binarnu operaciju, ω: S × X → X se naziva lijevo-vanjska operacija od strane S, a ω: X × S → X se naziva desna eksterna operacija od strane S. Primjer interne operacije je vektorsko zbrajanje, gdje se dva vektora dodaju i rezultiraju vektorom. Primjer eksterne operacije je skalarno množenje, gdje se vektor množi sa skalarom i rezultira vektorom.

ZD III-4