User:Zumthie/mathematics

Einige Anmerkungen und Ergänzungen zu mathematischen Artikeln

Mersenne-Primzahlen
''Die Mersennezahl $$M_n$$ ist eine Binärzahl, die gerade aus $$n$$ Einsen besteht (Zahlenpalindrom). Bei Mersenne-Primzahlen (Primzahlpalindrom) ist also die Anzahl der Einsen selbst eine Primzahl.''

Pythonprogramm Lucas-Lehmer-Test
Mit dem Lucas-Lehmer-Test läßt sich sehr schnell prüfen ob eine Mersennezahl auch eine Mersenne-Primzahl ist. Mit dem hier gezeigten Pythonprogramm können Mersennezahlen überprüft werden, wobei die Berechnungen bis zur 20ten Mersenne-Primzahl jeweils nur wenige Sekunden dauern.

Exponenten p (2p-1) der ersten 20 Mersenne-Primzahlen

 * 2
 * 3
 * 5
 * 7
 * 13
 * 17
 * 19
 * 31
 * 61
 * 89
 * 107
 * 127
 * 521
 * 607
 * 1) 1279
 * 2) 2203
 * 3) 2281
 * 4) 3217
 * 5) 4253
 * 6) 4423

Repunits
Es gilt übrigens für die Schreibweise von Zahlen in allen Stellenwertsystemen, dass Zahlen die nur aus Ziffern „1“ bestehen (Repunits), nur dann eine Primzahl sein können, wenn die Anzahl der Ziffern selbst auch eine Primzahl ist.

Die ersten Zahlen dieser Art, die aus diesem Grund keine Primzahlen sein können sind: ...
 * 1) 15 (1111 Basis 2)
 * 2) 40 (1111 Basis 3)
 * 3) 63 (111111 Basis 2)
 * 4) 85 (1111 Basis 4)
 * 5) 156 (1111 Basis 5)
 * 6) 255 (11111111 Basis 2)
 * 7) 259 (1111 Basis 6)
 * 8) 364 (111111 Basis 3)
 * 9) 400 (1111 Basis 7)
 * 10) 511 (111111111 Basis 2)

''Umgekehrt ist jede Primzahl p>2 in dem Stellenwertsystem mit der Basis p-1 eine 2-stellige Repunit. Besonders interessant sind aber die Repunits mit mehr als 2 Stellen die Primzahlen sind. In der Folge A085104 in OEIS sind diese Art Primzahlen aufgeführt.''

Repunits und Palindrome in Dreieckszahlen
Unter den Dreieckszahlen sind besondere Palindromzahlen aufgeführt. Die n-ten Dreieckszahlen bei denen n Repunits mit einer geraden Anzahl von Stellen (vollständige Palindromzahlen) sind, scheinen vollständige palindromische Dreieckszahlen zu indizieren die eine auffällige Ziffernfolge aufweisen. Tatsächlich lassen sich n-te palindromische Dreieckszahlen in Stellenwertsystemen mit gerader Basis > 2 konstruieren.

und Liste der Dreieckszahlen

Repunit 11Basis n-te palindromische DreieckszahlBasis:
 * (Siehe hierzu auch: A000384)

Repunit 1111Basis n-te palindromische DreieckszahlBasis:

Repunit 111111Basis n-te palindromische DreieckszahlBasis:

Je größer die Basis eines Stellenwertsystems gewählt wird, desto mehr palindromische Dreieckszahlen lassen sich konstruieren!

Die größten hexadezimalen palindromischen Dreieckszahlen dieser Art sind:

RepunitBasis n-te palindromische DreieckszahlBasis:

Algorithmus
Bildungsalgorithmus für die größte palindromische Dreieckszahl in einem Stellenwertsystem mit einer geradezahligen Basis > 2.


 * 1) Die n-te Dreieckszahl wird bestimmt durch eine Repunit zur ausgewählten Basis b mit b-2 Ziffern (Stellen).
 * 2) Die Anzahl der Ziffern der palindromischen Dreieckszahl ist (b-3)*2, die erste Hälfte der Palindromzahl hat somit b-3 Ziffern.
 * 3) Die erste Stelle der palindromischen Dreieckszahl erhält die Ziffer b/2+1.
 * 4) Die zweite Stelle der ersten Hälfte der Palindromzahl (sofern vorhanden) erhält die Ziffer 1.
 * 5) Die weiteren Stellen der ersten Hälfte der Palindromzahl (sofern vorhanden) erhalten die um 1 erhöhten Ziffern der vorvorherigen Stelle.
 * 6) Die zweite Hälfte der palindromischen Dreieckszahl wird dann durch Anhängen der gespiegelten Ziffernfolge gebildet.

Mehr zu Dreieckszahlen
Zu: Alle Dreieckszahlen > 3 sich zusammengesetzte Zahlen
 * Bei allen (Dreieckszahlen > 6) - 1 handelt es sich ebenfalls um zusammengesetzte Zahlen.

Vollkommene Zahlen
''Die Vollkommenen Zahlen gehören zu den „Freiwilligen Palindromzahlen“, denn in der Binärschreibweise kann die erforderliche Anzahl der Ziffern „0“ vor der Zahl ergänzt werden, ohne dass sich der Wert der Zahl verändert.

Beispiel: 11100 = 0011100 = Freiwillige Palindromzahl''

Vollkommene Zahlen (1. - 20.)
Die ersten 20 Vollkommenen Zahlen, die nach der oben angegebenen Formel mit den Mersenne-Primzahlen gebildet wurden, lauten:
 * 6
 * 28
 * 496
 * 1) 8128
 * 2) 33550336
 * 3) 8589869056
 * 4) 137438691328
 * 5) 2305843008139952128
 * 6) 2658455991569831744654692615953842176
 * 7) 191561942608236107294793378084303638130997321548169216
 * 8) 13164036458569648337239753460458722910223472318386943117783728128
 * 9) 14474011154664524427946373126085988481573677491474835889066354349131199152128
 * 10) 23562723457267347065789548996709904988477547858392600710143027597506337283178622239730365539602600561360255566462503270175052892578043215543382498428777152427010394496918664028644534128033831439790236838624033171435922356643219703101720713163527487298747400647801939587165936401087419375649057918549492160555646976
 * 11) 141053783706712069063207958086063189881486743514715667838838675999954867742652380114104193329037690251561950568709829327164087724366370087116731268159313652487450652439805877296207297446723295166658228846926807786652870188920867879451478364569313922060370695064736073572378695176473055266826253284886383715072974324463835300053138429460296575143368065570759537328128
 * 12) 54162526284365847412654465374391316140856490539031695784603920818387206994158534859198999921056719921919057390080263646159280013827605439746262788903057303445505827028395139475207769044924431494861729435113126280837904930462740681717960465867348720992572190569465545299629919823431031092624244463547789635441481391719816441605586788092147886677321398756661624714551726964302217554281784254817319611951659855553573937788923405146222324506715979193757372820860878214322052227584537552897476256179395176624426314480313446935085203657584798247536021172880403783048602873621259313789994900336673941503747224966984028240806042108690077670395259231894666273615212775603535764707952250173858305171028603021234896647851363949928904973292145107505979911456221519899345764984291328
 * 13) 1089258355057829337698225273522048981957108454302608067318906618508470155298616996291940961858901379546182685531220055762780759342407499066046704182083087124626926378164410931450968826355205573671671624202686633360807123109470452668371537599662797484934359039779954213666598820299501366380164619080260403235229556730554163992303009752651350320619930563673695280153023049498468696618144072021372831425963701460505606378119245841386552600145384072983309717141950085498085709671387054868320477972299055273914798446936214147860706887052107312380067072602317009422809314774791894700769891009818743169303028154303290071199392984292940283852217800166629229157110264080599294016452483028528153331119523441423159614934140265550242360007858215936798489500727196347516386044241721984706558329364277995903102292034620628080752342422906401283027034649671445569324281946859622177566643375489715678451311792675935981010355562887971948569016060035334607879359770371846507659970601616998311983878150420763306289490886429900481786499537645379839365212725494441511932772182768149943659849007457246983861558265144823191367758350341527780770221556945275566504831636564856831502556078058133043400055653540413313266034639355202834006126905491569560542489551023207382276137352665717018261519604817417112576526410535323991500058749996247580834453782528
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Länge der Sehne (Kreis) mit dem Pythagoras
Die Länge der Sehne in einem Kreis läßt sich berechnen, wenn der Radius des Kreises und der Abstand der Sehne vom Mittelpunkt des Kreises bekannt ist. Der Abstand a und die halbe Sehne x bilden immer die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Der Radius r entspricht immer der Hypotenuse. Mit dem Satz des Pythagoras läßt sich leicht die Länge der Sehne s ermitteln.

Pythagoras:
 * $$r^2 = a^2 + x^2$$

Formel nach x umgestellt:
 * $$x = \sqrt{r^2 - a^2}$$

Sehne gleich 2x:
 * $$s = 2*x$$

Besondere primitive pythagoreische Tripel
Siehe auch: Pythagoreisches Tripel


 * Für jede ungerade Zahl >1 gilt, wenn sie als „a“ (Gegenkathete (Minor cathetus)) eines rechtwinkligen Dreiecks genommen wird, dass sich immer ein pythagoreisches Zahlentripel bilden läßt.
 * Die Ankathete (Major cathetus) „b“ ist zu bilden mit (a^2-1)/2
 * Die Hypotenuse „c“ ist zu bilden mit (a^2+1)/2
 * Es gilt also: (natürlich) a^2+b^2=c^2 und b+c=a^2 und b=c-1 und c ist ungerade und b gerade

Nach diesen Regeln erhält man folgende primitive pythagoreische Tripel.

Tripel mit zwei Primzahlen
Pythagoreische Tripel mit zwei Primzahlen haben immer die oben beschriebene Form. Wobei die Seiten a und c die Primzahlen sind.

Die Tabelle dieser Tripel ist dann wie folgt:

Primzahl = a+b
Wenn zusätzlich die Bedingung gestellt wird, dass a+b ebenfalls eine Primzahl sein soll, dann sieht die Tabelle so aus:

Primzahl = a+b+ größter Primfaktor (b)
Wenn die Summe der größten Primfaktoren der Seiten (a+c+b)>prime eine Primzahl ist, dann ergibt sich folgende Tabelle:

Auffällig ist hier, dass viele größte Primfaktoren von b in einem besonderen Verhältnis zu a stehen. Es gibt häufig die Konstellation (a-1)/10 = b>prime factor