User talk:Anduena

TEORIA E PERTURBACIONIT TE OPERATORIT LINEAR

Anduena Hajredinaj-Buqani

 HYRJE

Teoria e perturbacionit i përmbledh të gjitha ato metoda matematike të cilat janë përdorur për të gjetur një zgjidhje të ngjashme për ndonjë problem i cili nuk ka mundur të zgjidhet saktësisht, duke u nisur nga një zgjidhje e saktë e një problemi që ka lidhje me problemin që shqyrtohet. Teoria e perturbacionit është e aplikueshme në qoftë se problemi në shqyrtim mund të formulohet duke i shtuar një term të “vogël” të përshkrimit matematik të problemit tjetër të zgjidhur saktësisht. Teoria e perturbacionit na qon te një shprehje që merret për zgjidhjen e dëshiruar e që përbëhet nga termat e një serie fuqi me disa parametra “të vegjël” të cilat paraqesin devijimin nga problemi saktësisht i zgjidhur. Termi kryesues në këtë seri fuqi është zgjidhja e problemit saktësisht të zgjidhur, përderisa termat tjerë përshkruajnë devijimin në zgjidhje të shkaktuar prej devijimit nga problemi fillestar. P.sh. më poshtë A paraqet përafërsisht një zgjidhje të plotë të një serie të shprehur në parametra të vegjël :

Në këtë shembull  mund të jetë zgjidhja që dihet e problemit fillestar saktësisht të zgjidhur, ndërsa   paraqesin ”rregullat e larta” të cilat janë gjetur pandërprerë me disa procedura sistematike. Për  të vegjël këto “rregulla të larta” bëhen me sukses më të parëndësishme. Shembuj të “përshkrimit matematik” janë: një ekuacion algjebrik, nje ekuacion diferencial (p.sh. ekuacionet e lëvizjeve në mekanikën qiellore ose një ekuacion i valës), një energji e lirë (në mekanikën statistikore), apo një operator Hamiltonian (në mekanikën kuantike). Shembuj për llojin e zgjidhjeve të cilat gjinden me ndihmen e perturbatimit: p.sh. zgjidhja e ekuacionit (p.sh. trajektorja e një grimce atomike), mesataret statistikore të ca madhësive fizike (p.sh. magnetizimi mesatar), gjendja e energjisë së tokës në një problem të mekanikës kuantike. Ndërsa ekuacionet lineare, duke përfshirë ekuacionet lineare të lëvizjes (oscilatorin harmonik, ekuacionin linear të valëve), sistemet e mekanikës kuantike ose statistikore të grimcave atomike jo ndërvepruese (ose në përfundim, energjia e Hamiltonit ose energjia e lirë) paraqesin shembuj të problemeve saktësisht të zgjidhura nga të cilat fillohet perturbimi. Energjia e Hamiltonit përshkruhet me ndihmen e operatorëve vetë-konjuguar (self-adjoint) që veprojnë në hapsirën e Hilbertit. Këta operatorë janë të kufizuar nëse hapësira është me dimension të fundëm. Në rastin e hapësirës me dimension infinit ai është gjithmonë i pa kufizuar, që d.m.th.se ai nuk është i definuar çdokund.

Teoria e perturbacionit rrënjët e veta i ka në shekullin e XVII – të në mekanikën qiellore (yllore), gjatë përdorimit të teorisë së epirrathëve që të bëhen disa korrigjime të vogla në parathëniet për rrugët (trajektoret) e planeteve. Ajo ishte më se e nevojshme për shumë e më shumë epirrathë të cilat eventualisht u paraqitën gjatë revolucionit të Kopernikut në kuptimin e orbitave të planeteve. Teoria e perturbacionit u krijua nga Rayleigh dhe Schrödinger i cili zbuloi një metodë më të përgjithshme për problemet e vlerave vetiake që përdoren në mekanikën kuantike. Zhvillimi i teorisë bazë të perturbacionit për ekuacionet diferenciale gradualisht u kompletua nga mesi i shekullit të XIX-të. Kjo ndodhi në kohën kur Charles Delaunay ishte duke studiuar zhvillimin perturbativ për sistemin Tokë – Hënë – Diell dhe zbuloi të ashtuquajturin “problemi i emëruesëve të vegjël ”. Këtu emëruesi që shfaqet në termin e n-të të zhvillimit perturbativ mund të jetë arbitrarisht i vogël duke shkaktuar që korrigjimi i n-të të jetë i madh ose më i madh se korrigjimi i “rregullës së parë të lartë“. Në fillim të shekullit XX, ky problem e qon Henri Poincare që të bëj një prej dedukimeve të para për ekzistencën e kaosit, ose të asaj që është quajtur në mënyrë prozatike: “ efekti i fluturës ” ku një perturbacion shumë i vogël mund të ketë një efekt shumë të madh në një sistem.

Teoria e perturbacionit pati një ekspansion dhe evoluim dramatik me arritjet e mëdha që u bënë në mekanikën kuantike. Megjithëse teoria e perturbacionit ishte përdorur në teorinë semi-klasike të atomit të Bohr-it, kalkulimet ishin në mënyrë monstruoze të komplikuara dhe subjekti disi e paqartësonte interpretimin. Zbulimi i Heisenbergut në strukturat e matricave bëri një thjeshtim të gjërë në aplikimin e teorisë së perturbacionit. Shembuj të mirë janë : Efekti i Stark-ut dhe Efekti i Zeeman-it për të cilët ekziston një teori e thjeshtë dhe e mjaftueshme që të përfshihen në librat standarde shkollore të mekanikës kuantike.

Në kohët moderne teoria e perturbacionit paraqet themelin e tërë kimisë kuantike dhe teorisë së fushës kuantike. Në kimi teoria e perturbacionit është përdorur për të gjetur zgjidhjet e para për atomin e heliumit. Përdorimi i mëherëshëm i teorisë së perturbacionit për fizikën molekulare ishte zhvillimi i metodës të kombinimit linear të orbitave atomike- molekulare ( LCAO – MO ) nga Ugo Fano dhe të tjerët në vitin 1930. Në mes të shekullit XX, Richard Feynman realizoi atë që zhvillimit pertubativ i dha një paraqitje dramatike në terma dhe të bukur grafike e cila tani njihet me emrin si diagramet e Feynman-it. Këto diagrame tani përdoren në çdo fushë ku studiohet zhvillimi pertubativ. Është e rëndësishme teorema KAM e vitit 1954 e cila u zhvillua nga Andrey Kolmogorov, Vladimir Arnold dhe Jurgen Mosen e cila na jep kushtet nën të cilat një sistem i ekuacioneve diferenciale parciale do të ketë vetëm zhvillim mesatar kaotik nën ndikimin e perturbacioneve të vogla. Në fund të shekullit XX, u shënuan zbulime në fizikën kuantike dhe u bënë hulumtime rreth “ rregullës së dytë të lartë ”dhe të modeleve saktësisht të zgjidhëshme.

Me qëllim që teoria gjenerale për zgjidhjen perturbative të ketë një ekspozim sa më të thjeshtë zgjidhjet e një sistemi joperturbativ janë jo të degjeneruara (ose “regulare”), prandaj edhe seritë e një perturbacioni mund të jenë të anasjelltë (inverte). Këtu janë disa mënyra për ndarjen me rastin e degjeneruar (ose “singular”) dhe ato dëshirojnë një kujdes shumë të madh. ”Rregulla e parë e lartë” ose ”Rregulla e dytë e lartë” në teorinë e perturbacionit është një zgjidhje ekzakte perturbative me terma të thjeshtësuar e cila e ka formën e një ekuacioni diferencial në perturbacionin e parametrit :

ku D është një operator specifik diferencial i formës:, dhe   ka një vlerë të ndryshueshme ndërsa   paraqesin zgjidhjet joperturbative kurse  zgjidhjen e kërkuar perturbative. Sa më i vogël që të jetë ndryshimi i ndryshoreve  zgjidhja perturbative është më e saktë. Që të dyja teoritë perturbative: regulare dhe singulare frekuentisht kanë një përdorim të gjërë në fizikë dhe inxhinieri. Teoria e perturbacionit regular mund të përdoret vetëm që të gjinden ato zgjidhje të një problemi e të cilat zhvillohen qetas (butësisht) jashtë problemit fillestar kur kemi të bëjmë me parametra vlerë-vetiake. Atje ku teoria e perturbacionit regular nuk mund ti kaloj kushtëzimet kufizuese të problemit fillestar për të ardhur deri te zgjidhja e kërkuar fillon të përdoret teoria e perturbacionit singular e cila arrin të ‘ngritet në’ kufijt e problemit (ligji i teorisë kufizuese, e aftë që të gjej zgjidhjen duke përdorur metodën e zhvillimeve të bashkimit asimptotik). Teknikat e perturbimit po ashtu mund të përdorën për të gjetur zgjidhjet e ngjashme të ekuacioneve diferenciale jolineare (teknikat e Lindstead-Poincare, metoda e balancimit harmonik dhe metoda e shkallëve të shumfishta kohore). Këtu nuk ka absolutisht asnjë garancion se metodat perturbative do të na japin si rezultat një zgjidhje konvergjente. Në fakt, seritë asimptotike janë norma.

Për dallim nga diciplinat tjera shkencore “teoria e perturbacionit” në matematikë nënkupton “teorinë e perturbacionit për operatorët linear”. Mirëpo, punimet fillestare në këtë teori ishin formale dhe matematikisht jokomplete.Nënkuptohej se vlerat vetiake dhe vektorët vetiak (ose funksionet vetiake) i pranonin ekspansimet e serive në parametra të vegjël të cilët i masnin devijimet e një operatori të “perturbuar” nga një i “paperturbuar”; pa patur mundësi që të tregohej se seritë e tilla konvergjojn.Vetëm Rellich arriti që të gjej përgjigjen për konvergjencën e serive të tilla.Një përgjigje e tillë mund të filloj në këtë mënyrë. Ltj. T(x) një operator i vet-konjuguar (selfadjoint) i kufizuar në hapsirën e Hilbertit të cilën e shënojmë me H, që varet nga një parametër real x me formën e një serie fuqi konvergjente:

Supozojmë se operatori i joperturbuar T = T(0) e ka një vlerë-vetiake të izoluar me një shumëllojshmëri të fundme  Atëherë T(x) ka saktësisht   vlera-vetiake , j = 1, ... , m (vlerat -vetiake të ndryshme janë të përsëritshëme numerikisht) në fqinjësi me  për  suficientin e vogël , dhe këto vlera vetiake mund të zgjërohen në seri konvergjente:

Vektorët-vetiak të asocuar  të T(x) po ashtu mund të zgjidhen si seri konvergjente: duke i kënaqur kushtet e ortonormalitetit

ku  formon familje ortonormale të vektorëve-vetiak të T për vlerën-vetiake. Këto rezultate është mjaft vështirë që të vërtetohen.Edhe në rastin kur H është me dimension të fundëm, ku problemi i vlerës-vetiake mund të ndahet algjebrikisht, vërtetimi nuk është aspak trivial. Që të vërtetohet ekzistenca e vektorëve-vetiak që i kënaqin seritë (3) dhe (4) është shumë më e thjeshtë dhe e dëshirueshme me një analizë më të thellë. Rezultatet origjinale të Rellich në perturbacionin e vlerave-vetiake të izoluara janë përgjithësuar gjithashtu. Është gjetur se teoria analitike fiton në përgjithësimin sikurse edhe në thjeshtim duke marrur parasysh që parametri x të jetë kompleks,që eshtë një ide natyrale kur analiciteti është i involvuar.Kjo na qon në formulimin e rezultateve për operatorët jo të vet-konjuguar (non-self-adjoint) dhe për operatorët në hapsirat e Banach-ut, në të cilat dominon përdorimi i teorisë së funksionit kompleks.Janë të njohura rastet kur seritë fuqi formale sikurse janë (2) dhe (3) divergjojnë ose kanë një numër të fundëm termash, dhe gjithashtu aproksimojnë kuantet  dhe   në sensin e zhvillimit asimptotik e cila është ngushtësisht e lidhur me teorinë e perturbacionit singular në ekuacionet diferenciale.. Zhvillimet tjera jo-analitike na qojnë te teoria e perturbacionit për spektrin në përgjithësi dhe te teoremat e stabilitetit për ndryshimet e përshtatshme spektrale të operatorëve, ku një rezultat kulminant është teorema indeks.Teoria e perturbacionit për semigrupet një-parametrike të operatorëve është zhvilluar nga Hille dhe Phillips. Rezultatet e ndryshme të perturbacionit për matricat dhe operatorët linear në hapsirat e Banach-ut janë të bazuara në Lemën e Neumman-it. Për shembull, perturbacioni klasik i kufizuar për zgjidhjen e ekuacioneve lineare invertibile është një konsekuencë direkte e kësaj leme. Në këtë rast do të kemi dy gjeneralizime të rezultateve klasike që ilustrojnë aplikimin e koncepteve të pseudo – inverseve dhe aproksimacionin e pikës së spektrumit për operatorët linear. Teoria e perturbacionit nuk është diciplinë e definuar. Ajo është shkencë e cila do të studiohet aktivisht edhe në të ardhmen.

2. Teoria e operatorit në hapësirën vektoriale me dimension të fundëm

Në këtë kapitull shqyrtojmë nocionet elementare me ndihmen e të cilave teoria e perturbacionit për operatorët linear prezentohet në një hapësirë me dimension të fundëm.Këtu janë përfshirë mjaft rezultate fundamentale të algjebrës lineare shpeshherë pa vërtetime si dhe nocione të hapsirave vektoriale të normuara dhe analizës me vektorët-vetiak dhe operatorët të cilat janë diskutuar më shumë. Problemi i vlerave-vetiake është përshkruar me një kujdes më të shtuar pasi që ai do të jetë njëri ndër subjektet kryesore në teorinë e perturbacionit e i cili është problem më shumë analitik se sa algjebrik, e që kushtëzohet nga tretmani funksiono-teoritik i resolventës. Edhe pse ka mjaft nocione elementare pranë tyre këtu do të hasen edhe disa nocione tjera të cilat nuk janë parë më herët.

2.1. Hapësirat vektoriale dhe hapësirat vektoriale të normuara, hapësira e Banach-ut

Këtu kemi një koleksion të nocioneve bazë në hapsirat vektoriale me dimension të fundëm të cilat përdorën në teorinë aplikative. •	Hapësira vektoriale X është një agregat i elementeve të quajtur vektorë, u, v,. . . për të cilat operacionet lineare (mbledhja: u+v si dhe shumëzimi ku u është vektor ndërsa  është skalar) janë të definuara ashtu që të përdoren rregullat e zakonshme të çfardo operuesi. •	Skalarët janë zakonisht numra kompleks (hapsira vektoriale komplekse) mund të shkruhet edhe si kurdo që përshtatet, dhe  shpesh herë shkruhet si. •	Vektori zero shënohet me 0 dhe ai nuk do të dalloj në simbol nga skalari zero. •	Vektorët  janë linearisht të pavarur nëse kombinimi linear i tyre   është i barabartë me zero vetëm nëse në të kundërtën ata janë linearisht të varur. •	Dimensioni i X, shënohet me dimX, dhe është numri më i madh i vektorëve të pavarur të cilët eksistojnë në X. Nëse numri i tyre është i pafundëm shënohet dimX =, kurse në hapsirat me dimension të fundëm. •	Nënbashkësia M e X është një shumëfishitet (manifold) linear ose një nënhapësirë nëse M është një hapsirë vektoriale për të cilën vlejnë operacionet lineare të njejta sikurse në X. •	Për çfardo nënbashkësie S nga X, bashkësia M e të gjitha kombinimeve lineare të mundshme që konstruktohet nga vektorët e S është një shumëfishitet linear. M është quajtur shumëfishitet linear i determinuar ose e matur nga S ose thjesht spani (linear) i S. •	Nëse spani koincidon me X, atëherë çdo vektor  mund të zgjerohet në formën unike: •	Në këtë aspekt familja është quajtur një bazë e X, dhe skalarët janë quajtur koeficientat (ose kordinatat) e u-së me respekt ndaj kësaj baze. •	Korrospodenca  është izomorfizëm i X në X në kuptimin se ai është një - një  dhe ruan operacionet lineare, kjo d. m. th. se  dhe   implikojn •	Një normë është një funksion jo-negativ në një hapsirë lineare vektoriale,  ashtu që      Nëse (1) nuk vlen atëherë   quhet seminormë. •	Hapsirë lineare e normuar është një hapsirë lineare vektoriale X me një normë në të, dhe  shënohet si ( X,  ). •	Ltj. ( X, ) dhe ( Y,  ) dy hapsira lineare të normuara. Atëherë X dhe Y janë topologjikisht izomorfe (X Y) nëse ekziston pasqyrimi linear bijektiv  dhe konstantet positive  ashtu që

•	Pasqyrimi  në mes të dy hapsirave lineare të normuara ( X,  ) dhe ( Y,  ) thuhet se është i vazhdueshëm në  nëse është dhënë  >0 atëherë ekziston  >0, ku  =, ashtu që  kur. F është i vazhdueshëm në X nëse ai është i vazhdueshëm në çdo pikë të X. F është uniformisht i vazhdueshëm kur për  >0  ekziston  >0, e pavarur nga , ashtu që për çfardo dhe x në X me, vlen. •	Një varg { } në hapsirën lineare të normuar ( X, ) konvergjon në   nëse : Vazhdueshmëria dhe konvergjenca janë ngushtësisht të lidhura dhe një pasqyrim është i vazhdueshëm në  nëse dhe vetëm nëse:   { } varg në X konvergjent në. •	Seria e elementeve   në hapsirën lineare të normuar ( X,  ) konvergjon në një element x nga X nëse :. •	Bashkësia A në hapsirën lineare të normuar X është e mbyllur nëse të gjitha vargjet konvergjente në A e kanë pikën e tyre limite në A. •	Bashkësia A në hapsirën lineare të normuar X është e hapur nëse komplimenti algjebrik i saj është i mbyllur. •	Bashkësia A në hapsirën lineare të normuar ( X, ) është e kufizuar nëse: •	Bashkësia A në hapsirën lineare të normuar është kompakte nëse çdo varg në A përmban një nënvarg konvergjent me pikë limite në A. •	Hapësira e Banach-ut është një hapsirë lineare e normuar komplete. Mund të tregohet se të gjitha hapsirat lineare të normuara janë komplete siq është hapësira e Banach-ut dhe e cila është unike në kuptimin se hapsirat që gjenerohen në këtë mënyrë janë të gjitha izometrikisht izomorfe.(këtë kompletim do ta shënojmë me ) •	Vargu { } i elementeve në hapsirën lineare të normuar ( X,  ) është i Koshit nëse  .Çdo varg Koshi është konvergjent.

2.2.	Format lineare dhe hapësira agjoint (e konjuguar)

Ltj. X hapësirë vektoriale. Një funksion me vlera komplekse f[u] I definuar për  është quajtur formë lineare ose funksional linear nëse

Nëse X =  (hapësira N-dimensionale e vektorëve numerik) forma lineare në X mund të shprehet në formën

që e paraqet f si një vektor rresht me komponentën, kur u është  e prezentuar më parë si një vektor shtyllë me komponentën. f[u] në këtë rast paraqet produkt matricor të këtyre dy vektorëve. Funksioni me vlera komplekse f[u] i definuar në X quhet formë semilineare (ose e konjuguar-lineare apo anti-lineare) nëse:

ku paraqet të konjuguarin kompleks të. f[u] do të jetë një formë semilineare atëherë dhe vetëm atëherë nëse  është formë lineare. Kombinimi linear i dy formave semilineare f, g i definuar me është po ashtu formë semilineare. Bashkësia e të gjitha formave semilineare në X formon një hapësirë vektoriale e cila quhet hapësira agjoint (ose e konjuguar) e X dhe shënohet me. Në teorinë algjebrike të hapësirave vektoriale, hapësira duale e hapësirës vektoriale X është e definuar si bashkësi e të gjitha formave lineare në X.

2.3. Operatorët

Në matematikë, operatori është një funksion, zakonisht një lloj i veçantë i tyre. P.sh. në algjebër një “operator” është një operator linear. Në analizë si “operator” mund të jetë një operator diferencial, që gjeneralizon derivimin e zakonshëm, ose operatori integral që gjeneralizon integrimin e zakonshëm. Pra, “operatori” është një funksion i cili vepron në funksione që të prodhojnë funksione tjera; ose ai mund të jetë një gjeneralizim i një funksioni të tillë, si në algjebrën lineare ku disa nga terminologjitë reflektojnë origjinën e subjektit në operacionet brenda funksioneve që janë zgjidhjet e ekuacioneve diferenciale. Një mendim është se ai është një operator i dinamikës (funksional) i cili ndryshon diçka brenda diçkaje tjetër e prej nga edhe e ka marrë emrin; por kjo është vetëm një mënyrë e të menduarit dhe jo një definim formal. Emri i operatorit ose simboli i operatorit është një nocion i cili tregon një operator partikular. Kur nuk ekziston ndonjë rrezik për konfuzion, emri i operatorit ose simboli i operatorit mund te referohen me mjaft guxim vetëm si një “operator”. Thënë striktësisht, operatori është një objekt matematikor e jo një emërtim sintaksor që e tregon atë. Arsyeja për identifikimin e tij me nocionin e tij është se ekzistojnë disa operator të cilët i kanë nocionet standarde.

2.3.1	 Operatorët linear

Lloji më i madh i operatorëve janë operatorët linear. Kur flasim për operatorët linear ata në mënyrë gjenerale shënohen me shkronjat T ose L. Operatorë linear janë ata që i plotësojnë kushtet e mëposhtme; ku mirret operatori gjeneral T, funksioni që vepron nën operatorin T e që shënohet si f(x), si dhe konstantja a:

Shembuj të operatorëve linearë janë, operatori diferencial dhe operatori i Laplasit. Operatorët linear gjithashtu dihen edhe si transformime lineare ose si pasqyrime lineare. Operatorët linear studiohen më lehtë (krahasuar me jolinearitetin). Operatorë linear është edhe operatori në kalkulus ku kalkulusi në esencë është studim i dy operatorëve partikular: operatorit diferencial  dhe të operatorit integral   Nga këta operatorë mund të konstruktohen shumë të tjerë. Në shumë pjesë të avancuara të matematikës, këta operatorë janë studiuar si një pjesë e analizës funksionale.

2.3.2	Vazhdueshmëria e operatorit linear

Një operator linear në mes të hapsirave vektoriale topologjike, për shembull hapsirat e normuara,mundet gjithashtu të jetë i vazhdueshëm dhe ai quhet operator linear i vazhdueshëm. Në hapsirat e normuara, një operator linear është I vazhdueshëm atëherë dhe vetëm atëherë nëse ai është i kufizuar, për shembull, kur domeni është me dimension të fundëm (p.sh. operatorët vetë-konjuguar (self-agjoint) që veprojnë në hapsirën e Hilbertit). Nëse domeni është me dimension infinit atëherë këtu kemi të bëjmë me operatorë linear jo të vazhdueshëm. Si shembull i pakufizueshmërisë si dhe i pavazhdueshmërisë është diferencimi si transformim linear me normë maximale.Nëse një operator linear I kufizuar varet nga një parametër t prej ndonjë intervali të R, ne mund të definojmë vazhdueshmërinë e fortë. Vazhdueshmëria uniforme me respekt ndaj t është një maner analog me të. Këtu kemi dy teorema të rëndësishme për operatorët linear të cilat përdoren në literaturën aplikative. Teorema 2. (Teorema për kufizueshmërinë uniforme (Banach-Steinhaus)) Ltj. { } një familje e operatorëve linear të kufizuar në L(X, Y) ku X është hapësirë e Banach-ut. Nëse familja { } është e kufizuar për çfardo x, ku ku  është i pavarur nga n, atëherë  { } është e kufizuar. Teorema 3. (Teorema për pasqyrimin e hapur) Ltj. ku X, Y janë hapësira të Banach-ut dhe T pasqyrim i X në Y. Atëherë T pasqyron çdo bashkësi të hapur nga X në një bashkësi të hapur të Y.

2.3.	Hyrje në teorinë e operatorit linear jo të kufizuar

Teorema 1. Le të jetë H hapësirë e Hilbertit’ një hapësirë me produkt të brendshëm e me dimension të fundëm, dhe le të jetë T një operator linear në H. Atëherë këtu ekziston një funksion unitar T* : H  H  ashtu që   për të gjitha u, v   H. Aq më parë T* është linear. Operatori T* është quajtur agjoint (operator i konjuguar) i operatorit T.

Definicion 1. Operatori linear i kufizuar T në një hapësirë H është normal, nëse T*T = TT*.

Definicion 2. Në rastin special kur T = T* operatori T quhet self-agjoint (vetë-konjuguar), ose operatori Hermitian. Kur hapsira vektoriale është reale, T do të quhet si operator real simetrik.

Definicion 3. Ltj. B(X) bashkësia e të gjithë operatorëve në X. Nëse P nga B(X) është projeksion, atëherë edhe i konjuguari i tij P* nga B(X*) është projeksion, për P² = P implikohet se P*² = P.

Def.4. Operatori T: X Y, ku X, Y janë hapësira të normuara quhet i kufizuar nëse Def 5. Operatori linear T është i mbyllur nëse grafi i tij është nënhapësirë lineare e mbyllur në produkt hapësirën X x Y.

Def 6. Operatori është kompakt nëse T i pasqyron bashkësitë e kufizuara nga hapësira e Banach-ut X në bashkësitë relativisht kompakte të hapësirës së Banach-ut Y.

Def 7. Operator pozitiv e quajmë çdo operator të vet-konjuguar (self-agjoint)  ashtu që. Ai quhet striktivisht pozitiv nëse vetëm nëse x=0.

Def 8. Operatori linear i kufizuar U në hapësirën e Hilbertit H është unitar nëse UU* = U*U = I, ku I është operatori i identitetit. Nëse duam që të shprehim konvergjencën e vektorëvë duke e menduar një normë, atëherë këtë mund ta bëjm me ndihmën e operatorëve. Por një operator-normë zakonisht është në korrelacion me vector-normat. Bashkësia e të gjithë operatorëve B(X, Y) është e definuar si një hapësirë e normuar me normën:

Vargu i operatorëve { } konvergjon sipas konditave të Koshit e kjo d.m.th. se  është e fundme.

Def 9. Nëse  i cili është ekuivalent me   atëherë ky limit quhet spektral radiusi i T dhe shënohet me sprT.

Def 10. Operatori linear I kufizuar në hapësirën e Hilbertit quhet operatori i Hilbert-Schmidt-it:

Def 11. Operatori linear në hapësirën e Hilbertit [a,b] i formës:   quhet operatori i Sturm-Liouville-it.

Def 12. Ltj. G nënhapësirë e hapësirës së Hilbertit H. Çfardo vektori  mund të shkruhet në formën  , ku   Operatori  quhet operatori projektues G.

2.4 Problemi i vlerave-vetiake

Ltj. ku X është një hapësirë vektoriale me  Numrin kompleks  e quajm vlerë-vetiake (vlerë të përshtatshme,vlerë-karakteristike) të T nëse këtu është vektori jo-zero  ashtu që. është quajtur vektor-vetiak (vektor të përshtatshëm,vektor-karakteristik) të T që asocojnë me vlerën-vetiake .Bashkësia  e të gjithë  ashtu që  paraqet një shumëfishitet linear në X dhe quhet (gjeometrikisht) hapësirë-vetiake e T për vlerën-vetiake , dhe dim është quajtur (gjeometrikisht) multiplicitet i. Vektorët-vetiak të T që u takojnë vlerave-vetiake të ndryshme janë linearisht të pavarur.Bashkësia e të gjitha vlerave vetiake të T është quajtur spektrum i T dhe e shenojmë me  dhe është e fundme me jo më shumë se N pika. Problemi i vlerave-vetiake konsiston në gjetjen e të gjitha vlerave-vetiake dhe vektorëve-vetiak (ose hapësirave-vetiake) të operatorit T.         Ltj. dhe konsiderojmë ekuacionin linear johomogjen është një numër kompleks,  që është dhënë dhe  që duhet gjetur. Atëherë ekziston inversi dhe jepet me: Operatori-funksioni  quhet resolventa e T. Bashkësia komplementare e spektrumit   është quajtur bashkësia resolvente e T dhe shënohet me P(T). Resolventa  definohet për Hapësira unitare është rast i veqant i hapësirës së normuar H në të cilën është definuar produkti i brendshëm (u,v) për çfardo dy vektorë u,v e cili është me vlerë komplekse dhe (Hermitian) simetrik  dhe është lineare në u dhe semilineare në v.         Familja e vektorëve   quhet familje ortogonale nëse çfardo dy elemente të kësaj familje janë ortogonale.Kurse është ortonormale nëse në mbledhje secili vektorë është i normalizuar: