User talk:Illusionoflife/sandbox

{Курс лекций по} {дискретной математике} {Лектор &mdash; Угольников Александ Борисович} {IV курс, 7-й семестр, поток математиков} {Москва, 2011г} {Краткое руководство пользователя.} Последние версии исходных кодов данных лекций могут быть получены в git-репозитории { git://gitorious.org/dmvn-project/discretemath.git}. Если Вы нашли ошибку, неточность или несоответствие(а их тут много), или у Вас есть предложения или пожелание пожалуйста, сообщите об ошибке на электронный ящик { illusion.of.life92@gmail.com} с пометкой discretemath. Предпочтительно, присылайте diff-файл, иначе – просто указание места в документе. Скоро здесь будет какая-нибудь copy-left лицензия. {part1.tex} {part2.tex} {part3.tex} {part4.tex} {part5.tex}

{Классы Поста.} = Повторение теории булевых функций. =

Основные определения.
= {0,1}                                                                                                         ^n = {, _i } n-местная булева функция: $$f^{(n)} (\set[x]{n}): \Ef^n \to \Ef $$ $$\PD$$-множество всех булевых функций. $$f(\set[x]{n})=g(\set[x]{n})$$, если $$\allset[x]{n} \quad f(\xt)=g(\xt) $$ $$x_1$$ &mdash; существенная переменная для $$f^{(n)}(\set{n})$$, если существует $$\uset{n}{\Ef},\text{что выполнено} $$ $$f(0,\setf{n})\neq f(1,\setf{n}) $$ В противном случае $$x_1$$ несущественная.

Способы задания булевых функций

 * Таблица
 * Формула над $$\ag\subseq\PD$$

Операции над булевскими функциями
  Суперпозиция. Частные случаи:   Перестановка переменных   Отождествление переменных   Переименование переменных без отождествления   Композиция (подстановка функции вместо переменных)    Введение фиктивной переменной ($$\nab$$) Пусть есть функция $$f^{(n)}(\set{n})$$. Оператор $$\nab$$ определяется соотношением $$(\nab f)(\set{n}\al_{n+1})=f(\set{n}) \quad \forall (\set) \in \Ef^n $$ 

Замкнутые классы
Замыканием множества $$\ag\subseq\PD$$ называется множество булевых функций, которые можно получить из множества функций $$\ag$$ с помощью операций суперпозиции и введения фиктивной переменной. Замыкание множества $$\ag\subseq\PD$$ обозначим $$[\ag]$$. $$\ag$$ &mdash; замкнутое множество (замкнутый класс), если $$\ag = [\ag]$$ Пусть $$[F]=F$$ и [$$\ag$$]=F. Тогда будем говорить, что $$\ag$$ порождает F. Замкнутый класс F называется конечнопорожденным, если найдется конечная система $$\ag\subseq\PD$$, что $$\ag$$ порождает F. В дальнейшем будем рассматривать равенство функций с точностью до несущественных переменных.

$$f(x,y)\queq g(x,z) \Lra (\nab f)(x,y,z) \queq (\nab g)(x,y,z) $$ Пусть F-замкнутый класс. Будем обозначать $$f_F$$ функцию не принадлежащую F. Рассмотрим некотые замкнутые классы. {Линейные функции.}

Линейные функции – функции вида $$f(\set[x]{n}) = a_0+a_1x_1+\cdots+a_nx_n, \quad \pcoef $$ <ol> <li> $$0, 1, x+y\in\Lb$$ </li> <li> $$xy\notin\Lb$$ </li> <li> $$[\Lb] = \Lb$$ </li> <li> $$\Lb = \cls{0,1,x+y}$$ </li> <li>"Из нелиненйной функции подстановкой 0,x,y можно получить нелинейную функцию двух переменных."</li></ol>

Коньюнкции.
Коньюнкции – функции вида $$f(\set[x]{n}) = a_0\&(a_1\vee x_1)\&\dots\&(a_n\vee x_n) \quad \pcoef $$
 * 1) $$0, 1, x, xy \in \Kb$$
 * 2) $$x\vee y\notin \Kb$$
 * 3) $$[\Kb] = \Kb $$
 * 4) $$\Kb = [\{0,1,xy\}]$$

Дизьюнкции.
Дизьюнкции – функции вида $$f(\set[x]{n}) = a_0\vee(a_1x_1)\vee\dots\vee a_nx_n \quad \pcoef $$
 * 1) $$0, 1, x, x\vee y \in \Db$$
 * 2) $$xy \notin \Db$$
 * 3) $$[\Db] = \Db $$
 * 4) $$\Db = [\{0, 1, x\vee y\}]$$

Монотонные функции.
Пусть $$\gset{n}$$ и $$\gset[\beta]{n}$$. Тогда по определению полагаем $$\tilde\alpha \le \tilde\beta \Lra\forall i \; \alpha_i \le \beta_i $$ Считаем,что $$0<1$$. Монотонные функции - функции $$f(\set[x]{n})$$, для который верно утверждение $$f(\alt)\le f(\tilde\beta)\quad\forall \alt,\tilde\beta \in \Ef^n $$ <ol> <li> $$0, 1, xy, x+y \in \Mb$$ </li> <li> $$ [\Mb] = \Mb $$ </li> <li> Пусть $$f(\set[x]{n}) \in \Mb$$. Тогда верно соотношение $$f(\set[x]{n}) = x_1f(1, \setf[x]{n})\vee f(0, \setf[x]{n}) $$ "={0, 1, xy, x y}" </li> <li> Пусть $$f \neq 0$$,$$f \neq 1$$, $$f \in \Mb$$. Тогда $$f \in \cls{\dn, xy} $$ </li> <li> Пусть $$f_K, f_D \in \Mb$$. Тогда $$x\vee y \in [\{1, f_K\}] $$ $$xy \in [\{0, f_D\}] $$ Докажем один случай. Второй аналогичен. $$f_{\Db}(\set[x]{n}) \notin \Db, f_{\Db} \in \Mb, n \ge 2 $$ Пусть все $$\set[x]{n}$$ существенны. Существует $$\tilde \al= (\set{n})$$ с ровно одной единицей, что $$f_{\Db}(\tilde \al) = 0$$. Без ограничения общности можно считать, что "= (1, 0, 0)" $$f_{\Db}(1, 0 \etc, 0) = 0 $$ Так как переменная $$x_1$$ &mdash; существенная, то существует $$\setf[\beta]{n}$$, что $$f_{\Db}(0, \setf[\beta]{n}) \neq f_{\Db}(1, \setf[\beta]{n}) $$ На самом деле, из монотонности следует, что $$\fD(0, \setf[\beta]{n}) = 0;\; \fD(1, \setf[\beta]{n}) $$ Не все $$\beta_j$$ – нули, поэтому существует k, что, не ограничивая общности можно считать, что $$\beta_2 = \ldots =\beta_k = 1 $$ $$\beta_{k+1}= \ldots = \beta_n = 0 $$ Рассмотрим функцию $$g(x,y)=\fD(x, \ub{y\etc, y}_{k-1}, 0\etc, 0) $$ Из предыдущий выклдок следует, что $$g(1,0) = 0, g(0,1) = 0, g(1,1)=1$$. По монотонности, $$g(0,0) =0$$. Отсюда, $$g(x,y)=xy $$ </li> <li>", ={0, 1, ,}" </li> <li>"Из немонотонной функции подстановкой 0, 1, x можно получить $\ol x$"</li></ol>