User talk:Siniša Čubrilo

= Monte Karlo metoda =

Monte Karlo metode (ili Monte Karlo eksperimenti) su široke klase računarskih algoritama koje se oslanjaju na slučajni uzrok za dobijanje numeričkih rezultata. Najčešće su korišćene u fizičkim i matematičkim problemima i najpogodnije su da se primenjuju kada je nemoguće da se dobije izraz zatvorenog obrasca. Monte Karlo metode se uglavnom koriste za tri različita problema: optimizaciju, numeričku integraciju i generisanje uzroka iz verovatnoće raspodele.

Monte Karlo metode su posebno korisne za simulaciju sa mnogim uparenim stepenima slobode, kao što su tečnosti, neuređeni materijali, snažno udružene materije i ćelijske strukture. Oni se koriste za modele fenomena sa značajnim neizvesnostima u ulazima, kao što je izračunavanje rizika u poslovanju. One se široko koriste u matematici, na primer, da procene multidimenzione određene integrale sa komplikovanim graničnim uslovima. Kada su Monte Karlo simulacije bile primenjene u svemirska istraživanja i u istraživanja nafte, njihove prognoze neuspeha, prekoračenja troškova i rasporeda prekoračenja su rutinski bolje od ljudske intuicije ili alternativne „meke“ metode. Moderna verzija Monte Karlo metode je izmišljena krajem 1940. godine od strane Stanislava Ulama, dok je radio na projektima nuklearnog oružja u Los Alamosu Nacionalnoj Laboratoriji. Ime im je dao Nikolas Metropolis, posle Monte Karlo kazina, gde se Ulamov ujak često kockao. Odmah nakon prodora Ulam, Džon Fon Nojman je shvatio njegov značaj i programirao računar ENIAC da sprovede Monte Karlo kalkulacije.

Uvod
Monte Karlo metode se razlikuju, ali imaju tendenciju da prate određeni obrazac: 1) Definisati domen mogućih ulaza.	2) Generisati ulaze nasumično iz verovatnoće raspodele nad domenom. 3) Izvršavanje determenističkih računanja na ulazima.	4) Sakupiti rezultate. Na primer, razmotrimo krug upisan u jedinični kvadrat. S obzirom na to da krug i kvadrat imaju odnos oblasti koje je π/4, vrednost π se može aproksimirati pomoću Monte Karlo metode. 1) Nacrtajte kvadrat i onda upišite krug u njemu.	2) Ravnomerno rasturiti neke objekte jedinstvene veličine kao što su zrna pirinča (ili peska) preko kvadrata. 3) Prebrojite broj objekta unutar kruga i ukupan broj objekata.	4) Odnos ove dve tačke je procena odnosa dve oblasti, koje je π/4. Pomnožite rezultat sa    4 da procenite π. U ovoj proceduri domen ulaza je kvadrat koji je opisan oko našeg kruga. Mi generišemo nasumične ulaze rasipanjem zrna pirinča preko kvadrata onda izvršimo proračun za svaki ulaz. Konačno, spajamo rezultate da bi dobili naš konačan rezultat, približavanje π. Ako zrna namerno padnu u središte kruga, ona nisu ravnomerno raspoređena i tada je naša aproksimacija loša. Drugo, trebalo bi da postoji veliki broj ulaza. Aproksimacija je generalno loša ako je samo nekoliko zrna nasumično palo po celom kvadratu. U proseku, aproksimacija se poboljšava što vise zrna padne.

Istorija
Rana varijanta Monte Karlo metode može se videti u eksperimentu Bufonove igle, u kojoj je π bilo procenjeno u zavisnosti od pada igle na pod koje je napravljeno od paralelnih traka drveta. 1930. godine, Enriko Fermi je prvi eksperimentisao sa Monte Karlo metodom dok je studirao neutronsku difuziju, ali nije objavio ništa o tome. 1946. godine fizičari u Los Almosu Naučnoj Laboratoriji su istraživali radijaciju zaštite i distance tih neutrona koji bi putovali kroz različite materijale. Uprkos tome što su imali većinu potrebnih podataka, kao što je prosečna udaljenost neutrona koju bi neutron prelazili u materiji pre nego što se sudare u atomskom jezgru, i koliko bi energije neutron ispuštali tokom sudara, naučnici iz Los Almosa nisu bili u stanju da reše problem koristeći konvecionalne, determenistički matematičke metode. Stanislav Ulam je došao do ideje korišćenja slučajnih eksperimenata. On prepričava svoju inspiraciju ovako: “Prva razmišljanja i pokušaji koje sam napravio da vežbam ovu metodu bila su predložena pitanjem koje mi je došlo 1946. godine dok sam se oporavljao od bolesti i igrao pasijans. Pitanje je bilo: “Kakve su šanse da će Kenfild pasijans izložen sa 52 karte izaći uspešno?”. Pošto sam proveo dosta vremena pokušavajući da ih procenim preko čistih kombinatornih računa, pitao sam se da li praktičniji metod od metode “apstraktnog razmišljanja” ne može da se iznese tako što ćemo reći 100 puta i jednostavno posmatranje i prebrojavanje broja uspešnih partija. Ovo je već bilo moguće predvideti sa početkom nove ere brzih računara, i odmah sam razmišljao o problem neutronske difuzije i o drugim pitanjima matematičke fizike i, uopšte, kako promeniti procese opisane od strane pojedinih diferencijalnih jednačina u ekvivalentnom obliku interpretiranih kao niz slučajnih operacija. Kasnije (tokom 1946.) opisao sam ideju Džonu Fon Nojmanu, i počeli smo da planiramo stvarne kalkulacije.” Rad Fon Nojmana i Ulama je zahtevao naziv ovog koda. Fon Nojman je izabrao ime “Monte Karlo”. Ime se odnosi na ime kazina u Monaku koje nosi isti naziv, gde je Ulamov ujak provodio dosta vremena kockajući se. Korišćenje liste “zaista” slučajnih brojeva je bilo ekstremno sporo, ali je Fon Nojman razvio način za izračunavanje pseudoslučajnih brojeva, koristeći “srednji-kvadrat” metodu. Iako je ovaj metod bio kritikovan, Fon Nojman je bio svestan toga i to je pravdao time da je to najbrža metoda od svih raspoloživih, i takođe je istakao da kada je pošlo naopako to je bilo tako očigledno, za razliku od metoda koje mogu biti suptilno netačne. Monte Karlo metode su bile centralno mesto za simulacije potrebnih za projekat “Menhetn”, iako je bilo ozbiljno ograničeno od strane kompjuterskih alata u to vreme. Tokom 1950-ih one su bile korišćene u Los Alamosu u ranim radovima koje se odnose na razvoj hidrogenske bombe, i postala je popularna u oblastima fizike, fizičke hemije i operacije istraživanja. Korporacija “Rend” i američko vojno vazduhoplovstvo su bile dve glavne organizacije za finansiranje i širenje informacije o Monte Karlo metodi u tom trenutku, i počeli su da traže široku primenu ove metode u različitim oblastima. Upotreba Monte Karlo metode zahteva veliku količinu slučajnih brojeva, pa je njihova upotreba podstakla razvoj generatora za pseudoslučajne brojeve, koji su radili daleko brže od tabela slučajnih brojeva.

Definicija
Ne postoji konzenzus o tome kako bi Monte Karlo metoda trebalo biti definisana. Na primer, Ripli definiše najveću verovatnoću modelovanja kao stohastičku simulaciju. Savilovski razlikuje između simulacija, Monte Karlo metodu, i Monte Karlo simulaciju: simulacija je fiktivno predstavljanje stvarnosti, a Monte Karlo je metoda je tehnika koja može biti upotrebljena za rešavanje matematičkih ili statičkih problema, i Monte Karlo simulacija koristi ponavljanje uzrokovanja za utvrđivanje svojstva nekih fenomena. Na primer: Simulacija: Crtanje jedne pseudo-slučajne ravnomerne varijable iz intervala (0,1] može biti upotrebljena za simulaciju bacanja jednog novčića: ako je vrednost manja ili jednaka 0,50 kao rezultat određujemo glavu, a ako je veća od 0,50 onda kao rezultat određujemo pismo. Ovo je simulacija, ali ne Monte Karlo simulacija. 	Monte Karlo metoda: Površina nepravilne figure upisana u jedinični kvadrat može se odrediti bacanjem strelica po kvadratu i izračunava se odnos bačenih strelica po figuri i ukupno bačenih strelica. To je Monte Karlo metoda određivanja prostora, ali nije simulacija.	Monte Karlo simulacija: Crtanje velikog broja pseudo-slučajnih ravnomernih varijabli iz intervala (0,1], i dodeljivanje vrednosti koja je manja ili jednaka 0,50 kao glava ili koja je veća od 0,50 kao pismo je Monte Karlo simulacija ponašanja bacanja novčića u vise navrata. Kalos i Vitlok ističu da takve razlike nisu uvek lake za održavanje. Na primer, emisija zračenja iz atoma je prirodan stohastički proces. To može biti simulirano direktno, ili njeno prosečno ponašanje se može opisati preko stohastičkih jednačina koje mogu biti rešene preko Monte Karlo metode.

Monte Karlo i nasumični brojevi

Monte Karlo simulativne metode ne ukazuju uvek na korisnost nasumičnih brojeva - dok za neke aplikacije, kao sto su prosta testiranja, nepredvidivost je krucijalna. Mnoge od najkorisnijih tehnika koriste odredjene pseudoslučajne sekvence, čineći ih lakšim za testiranje i ponavljanje simulacija. Jedini kvalitet obično neophodan za pravljenje dobre simulacije je da se pseudoslučajna sekvenca pojavi "dovoljno slučajno" na izvestan način. Šta ovo znači zavisi od aplikacije, tipično trebalo bi da prodje serije statističkih testova. Testiranje da su brojevi ravnomerno rasporedjeni ili da prate neku drugu željenu distribuciju kada se dovoljno veliki broj elemenata niza smatraju jednim od najjednostavnijih i najuobičajenijih. Savilovski navodi kvalitetne karakteristike Monte Karlo simulacije: -generator (pseudo - slučajnih) brojeva ima odredjene karakteristike (na primer, dug "period" pre nego sto se sekvenca ponovi). -generator (pseudo - slučajnih) brojeva proizvodi vrednosti koje prolaze testove za slučajnosti. -postoji dovoljno uzoraka koji obezbedjuju precizne rezultate koristi se tehnika pravilnog uzorkovanja. -algoritam koji se koristi važi za ono što se modelira stimuliše fenomen u pitanju. Uzorkovanje algoritama pseudo-slučajnih brojeva se koriste da transformišu ravnomerno rasporedjene pseudo-slučajne brojeve u brojeve koji se rasporedjuju prema datoj verovatnoći distribucije. Niski raspon sekvence se često koristi umesto slučajnih uzorkovanja iz prostora jer bi čak i pokrivenost i obično imaju brzi redosled konvergencije nego Monte Karlo simulacija pomoću slučajnih ili pseudoslučajnih sekvenci. Metode zasnovane na njihovoj upotrebi nazivaju se kvazi - Monte Karlo metode.

Monte Karlo simulacija naspram "šta ako" scenarija

Postoje načini korišćenja verovatnoće koji definitivno nisu Monte Karlo simulacije - na primer, determinističko modeliranje korišćenjem procene jedne tačke. Svakoj neizvesnoj promenljivoj u okviru modela se dodeljuje procena "najbolja pretpostavka". Za svaku ulaznu promenljivu scenariji se (kao što je najbolji, najgori, ili najverovatniji slučaj) biraju i rezultati beleže. Nasuprot tome, Monte Karlo simulacije uzorak verovatnoće distribucije za svaku promenljivu proizvode stotine ili hiljade mogućih ishoda. Rezultati se analiziraju da bi se dobile verovatnoće različitih ishoda koji se dešavaju. Na primer, poredjenje sa tabelama troškova izgradnje modela, pokrenite korišćenjem tradicionalnih "šta ako" scenarija, a zatim ponovo pokrenite sa Monte Karlo simulacijama i trougaone raspodele verovatnoće pokazuju da Monte Karlo analiza ima uži izbor nego "šta ako" analiza (potrebni primeri). To je zato što "šta ako" analiza daje jednaku težinu svim scenarijima (vidi kvantifikovanje neizvesnosti u korporativnim finansijama), dok Monte Karlo metod jedva daje uzorke u veoma niskim regionima verovatnoće. Uzorci u ovakvim regionima nazivaju se "retki dogadjaji".