User talk:Taras Banakh

Теорія множин фон Ноймана–Бернайса–Геделя
Теорія множин фон Ноймана–Бернайса–Геделя (скорочено NBG) — аксіоматична теорія першого порядку, що є розширенням теорії ZF Цермело-Френкеля. На відміну від ZF, NBG є скінченно аксіоматизовною теорією, яка дозволяє вільно оперувати як класами так і множинами.

Первинними (тобто неозначуваними) поняттями теорії NBG є поняття класу та елемента. Клас $$X$$ може бути елементом іншого класу $$Y$$, це позначається як $$X\in Y$$. Позначення $$X\notin Y$$ є скороченим записом формули $$\neg(X\in Y)$$.

Клас $$X$$ називається множиною, якщо він є елементом деякого класу, тобто якщо $$\exists Y\;(X\in Y)$$. Класи, які не є множинами називають властивими класами (англійською proper class). Щоб розрізняти класи та множини, для позначення класів вживають великі літери, а для множин — малі. Властиві класи позначаються великими товстими літерами. Прикладом такого класу є клас $$\mathbf V$$ усіх множин.

Розрізнення класів та множин дозволяє уникнути відомого парадоксу Рассела, який у випадку NGB стає доведенням того, що клас $$\mathbf A=\{x:x\notin x\}$$ не є множиною.

Система NBG містить 13 аксіом і може доповнюватися аксіомою (глобального) вибору або аксіомою конструктивності.

Аксіоми NBG

Аксіома Рівності: $$\forall X\;\forall Y\;(X=Y\;\Leftrightarrow\;\forall z\;(z\in X\;\Leftrightarrow\;z\in Y))$$

Аксіома рівності постулює, що два класи є рівними тоді і лише тоді коли вони мають одні і ті ж елементи.

Клас $$X$$ називається підкласом класу $$Y$$, якщо кожен елемент класу $$X$$ є елементом класу $$Y$$. У цьому випадку пишемо $$X\subseteq Y$$. Тобто, $$X\subseteq Y\;\Leftrightarrow\;\forall z\;(z\in X\;\Rightarrow\;z\in Y)$$. Аксіома рівності стверджує, що $$X=Y\;\Leftrightarrow\;(X\subseteq Y\;\wedge\;Y\subseteq X$$).

Аксіома Пари: $$\forall x\;\forall y\;\exists z\;\forall u\;(u\in z\;\Leftrightarrow\;(u=x\;\vee\;u=y))$$.

Аксіома пари постулює, що для довільних множин $$x,y$$ існує множина $$z$$, єдиними елементами якої є множини $$x,y$$. Така множина $$z$$ називається невпорядкованою парою множин $$x,y$$ і позначається символом $$\{x,y\}$$. З аксіоми рівності випливає рівність $$\{x,y\}=\{y,x\}$$. Невпорядкована пара $$\{x,x\}$$ позначається символом $$\{x\}$$ і називається синґлетоном.

Впорядкованою парою: $$\langle x,y\rangle$$ множин'' $$x,y$$ називається множина $$\{\{x\},\{x,y\}\}$$.

З аксіоми рівності випливає

Теорема. $$\forall x\;\forall y\;\forall a\;\forall b\;\;(\langle x,y\rangle=\langle a,b\rangle\;\Leftrightarrow\;(x=a\;\wedge\;y=b)$$.

Ця теорема стверджує, що впорядковані пари $$\langle x,y\rangle$$ і $$\langle a,b\rangle$$ рівні тоді і лише тоді, коли $$x=a$$ і $$y=b$$.

Впорядкованою трійкою множин' $$\langle x,y,z\rangle$$ множин $$x,y,z$$ називають множину $$\langle\langle x,y\rangle, z\rangle$$.

Впорядковані $$n$$-ки множин означуютья індуктивно: $$\langle x_1,\dots,x_n\rangle=\langle\langle x_1,\dots,x_{n-1}\rangle,x_n\rangle$$ для натурального числа $$n\ge 3$$.

Наступні 5 аксіом називають аксіомами існування класів.

Аксіома Належності: $$\exists E\;\forall x\;\forall y\;(\langle x,y\rangle\in E\;\Leftrightarrow\;x\in y).$$

Аксіома належності постулює існування класу $$\mathbf E=\{(x,y):x\in y\}$$.

Аксіома Інверсії: $$\forall X\;\exists Y\;\forall u\;\forall v\;\;(\langle u,v\rangle\in X\;\Leftrightarrow\;\langle v,u\rangle \in Y).$$

Аксіома інверсії стверджує, що для кожного класу $$X$$ існує клас $$X^{-1}=\{\langle x,y\rangle:\langle y,x\rangle\in X\}$$. Клас $$$$$ є відношенням тоді і лише тоді, коли $$(X^{-1})^{-1}=X$$.

Клас $$X$$ називається відношенням, якщо $$X=(X^{-1})^{-1}$$. Ця рівність справджується тоді і лише тоді, коли елементами класу $$X$$ є впорядковані пари.

Відношення $$F$$ називається функцією, якщо для довільних пар $$\langle x,y\rangle,\langle a,b\rangle\in F$$ із рівності $$x=a$$ випливає рівність $$y=b$$.

Функція $$F$$ називається ін'єктивною, якщо відношення $$F^{-1}$$ теж є функцією.

Аксіома Проекції: $$\forall F\;\exists D\;\forall x\;(x\in D\;\Leftrightarrow\;(\exists y\;\langle x,y\rangle\in F))$$

Згідно з аксіомами проекції та інверсії, для кожного класу $$F$$ існує клас $$\mathsf{dom}(F)=\{x:\exists y\;\langle x,\rangle\in F\}$$ та клас $$\mathsf{rng}(F)=\mathsf{dom}(F^{-1})$$. Якщо клас $$F$$ є відношенням (наприклад, функцією), то класи $$\mathsf{dom}(F)$$ та $$\mathsf{rng}(F)$$ називають областю визначення та областю значень відношення $$F$$.

З аксіом належності та проекції випливає, що клас усіх множин $$\mathbf V=\{x:\exists y\;x\in y\}$$ існує, оскільки він збігається з областю визначення відношення належності $$\mathbf E$$.

Аксіома Різниці: $$\forall X\;\forall Y\;\exists Z\;\forall u\;(u\in Z\;\Leftrightarrow\;(u\in X\;\wedge\;u\notin Y).$$

Аксіома різниці стверджує, що для довільних класів $$X$$, $$Y$$ існує клас $$X\setminus Y=\{x:x\in Y,\;x\notin Y\}$$.

З аксіоми різниці випливає існування порожнього класу $$\emptyset=\mathbf V\setminus \mathbf V$$, що не містить жодних елементів. За аксіомою рівності, порожній клас єдиний.

Аксіома різниці також дозволяє нам визначити перетин $$X\cap Y$$ класів $$X,Y$$ як клас $$X\setminus(X\setminus Y)$$. За аксіомою рівності, $$X\cap Y=\{x:x\in X\;\wedge\;x\in Y\}$$.

Об'єднанням $$X\cup Y$$ двох класів $$X,Y$$ називають клас $$\{x:x\in X\;\wedge\;y\in Y\}$$, який рівний класу $$\mathbf V\setminus((\mathbf V\setminus X)\cap(\mathbf V\setminus Y))$$, який існує за аксіомою різниці.

Аксіома Добутку: $$\forall X\;\forall Y\;\exists Z\;\forall u\;\forall v\;(\langle u,v\rangle\in Z\;\Leftrightarrow\;(u\in X\;\wedge\;v\notin Y))$$.

Аксіома добутку постулює, що для довільних класів $$X,Y$$ існує їх декартів добуток $$X\times Y=\{\langle x,y\rangle:x\in X,\;y\in Y\}$$.

Для відношення $$F$$ та класу $$X$$ клас $$F[X]=\{y:\exists x\in X\;\langle x,y\rangle\in F\}$$ називають образом класу $$X$$ при відношенні $$F$$. Клас $$F[X]$$ існує, оскільки він рівний класу $$\mathsf{rng}[F\cap(X\times V)]$$. Клас $$F^{-1}[X]$$ називають прообразом класу $$X$$ при відношенні $$F$$.

Для довільного класу $$X$$ клас $$\cup X=\{z:\exists y\;(x\in y\;\wedge\;y\in z)\}$$ називають об'єднанням класу $$X$$. Клас $$\cup X$$ існує, оскільки він рівний класу $$\mathsf{dom}[\mathbf E\cap(\mathbf V\times X)]$$.

Для довільного класу $$X$$ клас $$\cap X=\{z:\forall y\;(y\in X\;\Rightarrow\;x\in y)\}$$ називають перетином $$X$$. Клас $$\cap X$$ існує, оскільки він рівний класу $$\mathbf V\setminus\mathsf{dom}[(\mathbf V\setminus \mathbf E)\cap (\mathbf V\times\mathbf X)]$$.

Для довільного класу $$X$$ клас $$\mathcal P(X)=\{y:y\subset X\}$$ називають класом підмножин класу $$X$$. Клас $$\mathcal P(X)$$ існує, оскільки він рівний класу $$\mathbf V\setminus \mathsf{rgn}[\mathbf E\cap((\mathbf V\times X)\setminus \mathbf E)]$$.

Аксіома Циклу: $$\forall A\;\exists B\;\;\forall x\;\forall y\;\forall z\;(\langle\langle x,y\rangle,z\rangle\in A\;\Leftrightarrow\;\langle\langle z,x\rangle,y\rangle\in B)$$.

Аксіома циклу постулює існування класу $$\mathbf\pi[A]=\{\langle \langle z,x\rangle,y\rangle:\langle \langle x,y\rangle,z\rangle\in X\}$$, що утворюється з довільного класу $$A$$, циклічною перестановкою впорядкованих трійок, що є елементами цього класу.

Аксіома регулярності: $$\forall x\;(x\ne\emptyset\;\Rightarrow\;\exists y\;\forall z\in y\;(z\notin x))$$

Аксіома регулярності стверджує, що довільна множина $x$ містить елемент $y\in x$, який не має з множиною $x$ спільних елементів. Аксіома регуляності забороняє існування нескінченних спадних ланцюгів виду $$x_1\ni x_2\ni x_2\dots$$.

Використовуючи аксіому регулярності та аксіоми існування класів, Гедель довів (індукцією по складності формули $\phi$) наступну важливу теорему, яка приймається за аксіому виділення в аксіоматиці Цермело-Френкеля.

Теорема Геделя про існування класів: Нехай $$\phi(x_1, \dots, x_n, Y_1, \dots, Y_m)$$ є формулою, у якій квантори перебирають лише елементи класу $$\mathbf V$$, а вільні змінні містяться серед змінних $$x_1, \dots, x_n, Y_1, \dots, Y_m$$. Тоді для довільних класів $$Y_1, \dots, Y_m$$ клас $$\{(x_1, \dots, x_n): \phi(x_1, \dots, x_n, Y_1, \dots, Y_m)\}$$ існує.

Доступне доведення цієї теореми можна знайти в англійській версії цієї статті.

Наступні 4 аксіоми називають аксіомами існування множин.

Аксіома Перенесення: Для довільної функції $$F$$ та множини $$x$$ її образ $$F[x]$$ є множиною.

Аксіома Об'єднання: Для довільної множини $$x$$ її об'єднання $$\bigcup x$$ є множиною.

Аксіома Степені: Для довільної множини $$x$$ її клас підмножин $$\mathcal P(x)$$ є множиною.

З аксіоми степені випливає, що для довільної множини усі її підкласи є множинами.

Проте з усіх наведених вище аксіом ще не випливає, що хоча б одна множина існує. Ісування множин (навіть нескінченних) забезпечує

Аксіома Нескінченності: $$\exists x\;(\emptyset\in x\;\wedge\;(\forall n\in x\;n\cup\{n\}\in x)$$.

Аксіома нескінченності постулює існування індуктивної множини. Клас $$x$$ називається індуктивним, якщо порожній клас є її елементом і для кожного елемента $$n\in I$$ множина $n\cup\{n\}$ є елементом $I$. З теореми про існування класів випливає, що клас $I$ усіх індуктивних множин існує, а аксіома нескінченності постулює, що цей клас непорожній. Перетин $$\cap \mathcal I$$ усіх індуктивних множин позначають через $$\omega$$ і називають множиною натуральних чисел. Елементи множини $$\omega,$$ називають натуральними числами, або скінченними ординалами.

Систему аксіом NBG часто доповнюють однією з аксіом вибору:

Аксіома Глобального Вибору: Існує функція $$\mathbf F$$, що ставить у відповідність кожній непорожній множині $$x$$ деякий елемент $$\mathbf F(x)\in x$$.

З аксіоми глобального вибору випливає аксіома вибору, яка є однією з аксіом ZFC.

Аксіома Вибору: Для кожної множини $x$ існує функція $$f$$, що ставить у відповідність кожній непорожній множині $$y\in x$$ деякий елемент $$f(y)\in y$$.

З іншого боку, акcіома глобального вибору випливає з аксіоми конструктивності $$\mathbf V=\mathbf L$$, для формулювання якої необхідно означити клас $$\mathbf L$$ конструктивних множин.

Конструктивні множини означуються за допомогою восьми геделівських операцій, що відповідають аксіомам існування класів та множин.

Для класів $$X,Y$$ розглянемо наступні операції:

$$G_1(X,Y)=\{X,Y\}$$

$$G_2(X,Y)=X\times Y$$

$$G_3(X,Y)=\{(x,y)\in X\times Y:x\in y\}$$

$$G_4(X,Y)=X\setminus Y$$

$$G_5(X)=X^{-1}$$

$$G_6(X)=\mathsf{dom}(X)$$

$$G_7(X)=\cup X$$

$$G_8(X)=\{\langle x,y,z\rangle:\langle z,x,y\rangle\in X\}$$

Клас $$\mathbf X$$ називається внутрішньою моделлю, якщо кожен елемент $$X$$ є також підмножиною $$\mathbf X$$, кожна підмножина $$y\subseteq X$$ є підмножиною деякої множини $$x\in \mathbf X$$ і $$\mathbf X$$ є замкненим відносно геделівських операцій, тобто для довільних множин $$x,y\in X$$ множини $$G_1(x,y),G_2(x,y),G_3(x,y),G_4(x,y),G_5(x),G_6(x),G_7(x),G_8(x)$$ є елементами класу $$\mathbf X$$. Найменша внутрішня модель називається класом конструктивних множин і позначається через $$\mathbf L$$.

Аксіома Конструктивності: $$\mathbf V=\mathbf L$$

Аксіома конструктивності є дуже сильною аксіомою, з якої випливає Глобальна Аксіома Вибору і також

Узагальнена Гіпотеза Континуума: Для кожної нескінченної множини $$x$$ та підмножини $$y\subseteq \mathcal P(x)$$ існує ін'єктивна функція $$f$$ така, що $$f[y]\subseteq x$$ або $$f[\mathcal P(x)]\subseteq y$$.

Таким чином теорія множин NBG опирається на 14 аксіомах:

1. Аксіома Рівності: Два класи рівні тоді і лише тоді коли вони складаються з однакових елементів.

2. Аксіома Пари: Для довільних множин $$x,y$$ існує впорядкована пара.

3. Аксіома Належності: Клас $$\mathbf E=\{(x,y):x\in y\}$$ існує.

4. Аксіома Інверсії: Для довільного класу $$X$$ клас $$X^{-1}=\{\langle y,x\rangle:\langle x,y\rangle\in X\}$$ існує.

5. Аксіома Проекції: Для довільного класу $$X$$ клас $$\mathsf{dom}[X]=\{x:\exists y\;\langle x,y\rangle\in X\}$$ існує.

6. Аксіома Добутку: Для довільних класів $$X,Y$$ клас $$X\times Y=\{\langle x,y\rangle:x\in X,\;y\in Y\}$$ існує.

7. Аксіома Різниці: Для довільних класів $$X,Y$$ клас $$X\setminus Y$$ існує.

8. Аксіома Циклу: Для довільного класу $$X$$ клас $$\{\langle y,z,x\rangle:\langle x,y,z\rangle\in X\}$$ існує.

9. Аксіома Регулярності: Довільна непорожня множина $$x$$містить такий елемент $$y\in$$, що $$y\cap=\emptyset$$.

10. Аксіома Перенесення: Для довільної функції $$F$$ і довільної множини $$x$$ клас $$\{F(y):y\in x\}$$ є множиною.

11. Аксіома Суми: Для довільної множини $$x$$ клас $$\cup x=\{y:\exists z\in y\;x\in y\}$$ є множиною.

12. Аксіома Степені: Для довільної множини $$x$$ клас $$\mathcal P(x)=\{y:y\subseteq x\}$$ її підмножин є множиною.

13. Аксіома Нескінченності: Існує індуктивна множина, зокрема, множина натуральних чисел $$\omega$$.

14. Глобальна Аксіома Вибору: Існує функція $$\mathbf F$$ що ставить у відповідність кожній непорожній множині $$x$$ деякий елемент $$\mathbf F(x)\in x$$.

Переваги аксіоматики NBG порівняно з іншими аскіоматичними системами теорії множин

Аксіоматика NBG має дві суттєві переваги, порівняно з іншими аксіоматичними системами теорії множин. По-перше вона скінченно аксіоматизовна, а по-друге дозволяє оперувати з класами. Останнє є критично важливо для теоретико-множинного обґрунтування теорії категорій.

У теорії NBG категорії, функтори та природні перетворення функторів означуються цілком строго (чого не можна сказати про ZFC).

Означення категорії. Категорією називаємо четвірку $$(Ob,Mor,1,\circ)$$, де: $$\bullet$$ $$Ob$$ — клас, елементи якого називаються об'єктами категорії; $$\bullet$$ $$Mor$$ — функція з областю визначення $$\mathsf{dom}(Mor)=Ob\times Ob$$, що ставить у відповідність кожній парі об'єктів $$\langle x,y\rangle\in Ob\times Ob$$ множину $$Mor(x,y)$$, яка називається множиною морфізмів з $$x$$ в $$y$$; $$\bullet$$ $$1$$ — функція з областю визначення $$\mathsf{dom}(1)=Ob$$, яка ставить у відповідність кожному об'єкту $$x\in Ob$$ певний морфізм $$1_x\in Mor(x,x)$$, що називається тотожнім морфізмом об'єкта $$x$$; $$\bullet$$ $$\circ$$ — функція з областю визначення $$\mathsf{dom}(\circ)=Ob\times Ob\times Ob$$, яка кожній трійці об'єктів $$\langle a,b,c\rangle\in (Ob\times On)\times Ob$$ ставить у відповідність функцію $$\circ_{a,b,c}:Mor(x,y)\times Mor(y,z)\to Mor(x,z)$$; функція $$\circ$$ називається законом композиції морфізмів. При цьому повинні задовольнятися наступні аксіоми: (Асоціативність): Для довільних об'єктів $$a,b,c,d\in Ob$$ та морфізмів $$f\in Mor(a,b),\;g\in Mor(b,c),\;h\in Mor(c,d)$$ справджується рівність $$\circ_{a,c,d}(\circ_{a,b,c}(f,g),h)=\circ_{a,b,d}(f,\circ_{b,cd}(g,h))$$; (Одиниця): Для довільних об'єктів $$a,b\in Ob$$ та морфізму $$f\in Mor(a,b)$$ справедлива рівність $$\circ_{a,a,b}(1_a,f)=f=\circ_{a,b,b}(f,1_b)$$. Категорія $$(Ob, Nor,1,\circ)$$ називається малою, якщо її клас об'єктів є множиною.

Поняття функтора між категоріями теж можна означити цілком строго.

Означення функтора. Функтором $$F:\mathcal A\to\mathcal A'$$ між категоріями $$\mathcal A=(Ob,Mor,1,\circ)$$ та $$\mathcal A'=(Ob',Mor',1',\circ')$$ називаємо пару функцій $$(F_*,F_{**})$$, де: $$\bullet$$ $$F_*:Ob\to Ob'$$ — функція, що ставить у відповідність кожному об'єкту $$a\in Ob$$ певний об'єкт $$Fa$$ категорії $$Ob'$$; $$\bullet$$ $$F_{**}:Ob\times Ob\to\mathbf V$$ — функція, що ставить у відповідність кожній парі об'єктів $$a,b\in Ob\times Ob$$ функцію $$F_{a,b}:Mor(a,b)\to Mor'(Fa,Fb)$$. При цьому повинні задовольнятися дві аксіоми: (Збереження Композиції): Для довільних об'єктів $$a,b,c\in Ob$$ та морфізмів $$f\in Mor(a,b),\;g\in Mor(b,c)$$ справджується рівність $$F_{a,c}(\circ_{a,b,c}(f,g))=\circ'_{Fa,Fb,Fc}(F_{a,b}(f),F_{b,c}(g))$$. (Збереження одиниці): Для довільного об'єкта $$a\in Ob$$ справедлива рівність $$F_{a,a}(1_a)=1_{Fa}$$.

Нарешті, подамо строге означення природного перетворення функторів.

Означення природного перетворення функторів. Нехай $$F,G:\mathcal A\to\mathcal A'$$ два функтори між категоріями $$\mathcal A=(Ob,Mor,1,\circ)$$ та $$\mathcal A'=(Ob',Mor',1',\circ')$$. Природнім перетворенням функтора $$F$$ у функтор $$G$$, називаємо довільну функцію $$\eta:Ob\to\mathbf V$$, що ставить у відповідність кожному об'єкту $$a\in Ob$$ морфізм $$\eta_a\in Mor'(Fa,Ga)$$ категорії $$\mathcal A'$$, таким чином, що задовольняється (Умова природності): Для довільних об'єктів $$a,b\in Ob$$ та морфізма $$f\in Mor(a,b)$$ справджується рівність $$\circ'_{Fa,Ga,Gb}(\eta_a,G_{a,b}(f))=\circ'_{Fa,Fb,Gb}(F_{a,b}(f),\eta_b)$$.