User talk:Thomas9987

$$\begin{enumerate} \item Décomposer en série de Fourier la fonction : \[f(t)=\left|\sin t \right|\] \item \label{question2} Montrer que : \[\forall t \in \mathbb{R} ,f(t)=\frac{8}{\pi}\sum^{+\infty}_{n=1}{\frac{(\sin nt)^2}{4n^2-1}}\] \item On note : \[\rho_p=\frac{2}{\pi}\int^{\pi/2}_{0}{\frac{|\sin px|}{\sin x}}dx\] Prouver que : \[\rho_p=\frac{16}{\pi^2}\sum^{+\infty}_{n=1}{\frac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{2np-1}}{4n^2-1}}\] \end{enumerate} \vspace{20pt} \paragraph{\large{Eléments de solution}} \label{sec:eds} \begin{enumerate} \item On trouve : \[f(t)=\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum^{+\infty}_{n=1}{\frac{\cos 2nt}{4n^2-1}}\] \item Selon la question précédente, il est équivalent de montrer : \[\sum^{+\infty}_{n=1}{\frac{1}{4n^2-1}}=\frac{1}{2}\] Or on a : \[\begin{split} \sum^{N}_{n=1}{\frac{1}{4n^2-1}}&= \frac{1}{2}\sum^{N}_{n=1}{\left( \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \right)} \\ & =\frac{1}{2}\sum^{N-1}_{n=0}{ \frac{1}{2n+1} }-\frac{1}{2}\sum^{N}_{n=1}{ \frac{1}{2n+1} }=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(2N+1)} \end{split} \]

d'où le résultat. \item En utilisant l'exponentielle complexe, on montre que : \begin{equation} \label{prelim} \sum^{n}_{k=0}{\sin{(2k+1)t}}=\frac{(\sin{(n+1)t})^2}{\sin{t}} \end{equation} Or, selon la question~\ref{question2}, on a : \[ \begin{split} \rho_p &= \frac{2}{\pi}\int^{\pi/2}_{0}{\frac{8}{\pi}\sum^{+\infty}_{n=1}{\frac{(\sin npx)^2}{4n^2-1}}\frac{1}{\sin x}}dx \\ &= \frac{16}{\pi^2}\sum^{+\infty}_{n=1}{\int^{\pi/2}_{0}{\frac{(\sin npx)^2}{\sin x}}\frac{1}{4n^2-1}}dx \end{split} \] donc d'après \eqref{prelim}, \[\rho_p=\frac{16}{\pi^2}\sum^{+\infty}_{n=1}{\int^{\pi/2}_{0}{\sum^{np-1}_{k=0}{\frac{\sin{(2k+1)t}}{4n^2-1}}}dx}. \]	Ainsi, il suffit de montrer l'égalité des termes de la somme infinie :	\[\frac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{2np-1}}{4n^2-1}=\int^{\pi/2}_{0}{\sum^{np-1}_{k=0}{\frac{\sin{(2k+1)t}}{4n^2-1}}}dx\] ce qui équivaut à \[1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{2np-1}=\sum^{np-1}_{k=0}{\int^{\pi/2}_{0}\sin{(2k+1)t}}\ dx.\] Or on a : \[\begin{split} \sum^{np-1}_{k=0}{\int^{\pi/2}_{0}\sin{(2k+1)t}}\ dx&=\sum^{np-1}_{k=0}{\left[\frac{-1}{2k+1}\cos{(2k+1)t}\right]^{\pi/2}_{0}} \\&=\sum^{np-1}_{k=0}{\frac{1}{2k+1}} \end{split} \] d'où le résultat. $$